在二阶齐次线性微分方程
中，如果 \(y', y\) 的系数 \(P(x), Q(x)\) 均为常数，即 \((1)\) 式成为
其中 \(p, q\) 是常数，那么称 \((2)\) 为二阶常系数齐次线性微分方程。如果 \(p, q\) 不全为常数，就称 \((1)\) 为二阶变系数齐次线性微分方程。
要找微分方程 \((2)\) 的通解，可以先求出它的两个解 \(y_1, y_2\) ，如果它们之比不为常数，即 \(y_1\) 与 \(y_2\) 线性无关，那么 \(y = C_1 y_1 + C_2 y_2\) 就是方程 \((2)\) 的通解。
当 \(r\) 为常数时，指数函数 \(y = \mathrm{e}^{rx}\) 和它的各阶导数都只相差一个常数因子。由于指数函数有这个特点，因此用 \(y = \mathrm{e}^{rx}\) 来尝试，看能否选取适当的常数 \(r\) ，使 \(y = \mathrm{e}^{rx}\) 满足方程 \((2)\) 。
将 \(y = \mathrm{e}^{rx}\) 求导，得到
把 \(y, y'\) 代入方程 \((2)\) ，得
由于 \(\mathrm{e}^{rx} \neq 0\) ，所以
由此可见，只要 \(r\) 满足代数方程 \((3)\) ，函数 \(y = \mathrm{e}^{rx}\) 就是微分方程 \((2)\) 的解。代数方程 \((3)\) 叫做微分方程 \((2)\) 的特征方程。
特征方程 \((3)\) 的两个根 \(r_1, r_2\) 可以用公式
求出。它们有三种不同的情形：
（1）当 \(p^2 - 4q > 0\) 时，\(r_1, r_2\) 是两个不相等的实根
（2）当 \(p^2 - 4q = 0\) 时，\(r_1, r_2\) 是两个相等的实根
（3）当 \(p^2 - 4q < 0\) 时，\(r_1, r_2\) 是一对共轭复根
其中
相应地，微分方程 \((2)\) 的通解也有三种不同的情_形。
（1）特征方程有两个不相等的实根：\(r_1 \neq r_2\)
由上面的讨论可知，\(y_1 = \mathrm{e}^{r_1x}, y_2 = \mathrm{e}^{r_2x}\) 是微分方程 \((2)\) 的两个解，并且 \(\cfrac{y_2}{y_1} = \cfrac{\mathrm{e}^{r_2x}}{\mathrm{e}^{r_1x}} = \mathrm{e}^{(r_2 - r_1)x}\) 不是常数，因此微分方程 \((2)\) 的通解为
（2）特征方程有两个相等的实根：\(r_1 = r_2\)
这时，只得到微分方程 \((2)\) 的一个解
为了得出微分方程 \((2)\) 的通解，还需求出另一个解 \(y_2\) ，并要求 \(\cfrac{y_2}{y_1}\) 不是常数。设 \(\cfrac{y_2}{y_1} = u(x)\)，即 \(y_2 = \mathrm{e}^{r_1x} u(x)\) 。下面来求 \(u(x)\) 。将 \(y_2\) 求导，得
将 \(y_2, y_2'\) 和 \(y_2''\) 代入微分方程 \((2)\) ，得
约去 \(\mathrm{e}^{r_1x}\) ，合并同类项，得
由于 \(r_1\) 是特征方程 \((3)\) 的二重根。因此 \(r_1^2 + pr_1 + q = 0\) 且 \(2r_1 + p = 0\)，于是得
因为这里只要得到一个不为常数的解，所以不妨取 \(u = x\) ，由此可得到微分方程 \((2)\) 的另一个解
从而微分方程 \((2)\) 的通解为
即
（3）特征方程有一对共轭复根：\(r_1 = \alpha + \beta \mathrm{i}, r_2 = \alpha - \beta \mathrm{i}(\beta \neq 0)\)
这时，\(y_1 = \mathrm{e}^{(\alpha + \beta \mathrm{i})x}, y_2 = \mathrm{e}^{(\alpha - \beta \mathrm{i})x}\) 是微分方程 \((2)\) 的两个解，但它们是复值函数形式。为了得到实值函数形式的解，先利用欧拉公式 \(\mathrm{e}^{i \theta} = \cos \theta + \mathrm{i} \sin \theta\) 把 \(y_1, y_2\) 改写为
由于复值函数 \(y_1\) 与 \(y_2\) 之间成共轭关系，因此，取它们的和除以2就得到它们的实部，取它们的差除以 \(2 \mathrm{i}\) 就得到它们的虚部。由于方程 \((2)\) 的解符合叠加原理，所以实值函数
还是微分方程 \((2)\) 的解，且 \(\cfrac{\overline{y_1}}{\overline{y_2}} = \cfrac{\mathrm{e}^{\alpha x} \cos \beta x}{\mathrm{e}^{\alpha x} \sin \beta x} = \cot \beta x\) 不是常数，所以微分方程 \((2)\) 的通解为
综上所述，求二阶常系数齐次线性微分方程
的通解的步骤如下：
第一步 写出微分方程 \((2)\) 的特征方程
第二步 求出特征方程 \((3)\) 的两个根 \(r_1, r_2\) .
第三步 根据特征方程 \((3)\) 的两个根的不同情形，按照下列表格写出微分方程 \((2)\) 的通解：
| 特征方程 \(r^2 + pr + q = 0\) 的两个根 \(r_1, r_2\) | 微分方程 \(y'' + py' + qy = 0\) 的通解 |
|---|---|
| 两个不相等的实根 \(r_1, r_2\) | \(y = C_1 \mathrm{e}^{r_1 x} + C_2 \mathrm{e}^{r_2 x}\) |
| 两个相等的实根 \(r_1 = r_2\) | \(y = (C_1 + C_2 x)\mathrm{e}^{r_1 x}\) |
| 一对共轭复根 \(r_{1, 2} = \alpha \pm \beta \mathrm{i}\) | \(y = \mathrm{e}^{\alpha x} (C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x)\) |
二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解的形式，可以推广到 \(n\) 阶常系数齐次线性微分方程，简单地叙述如下：
\(n\) 阶常系数齐次线性微分方程的一般形式是
其中 \(p_1, p_2, \cdots, p_{n - 1}, p_n\) 都是常数。
有时我们用记号 \(\mathrm{D}\) （叫做微分算子）表示对 \(x\) 求导的运算 \(\cfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\) ，把 \(\cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\) 记作 \(\mathrm{D}y\)， 把 \(\cfrac{\mathrm{d}^n y}{\mathrm{d}x^n}\) 记作 \(\mathrm{D}^n y\)，并把方程 \((4)\) 记作
记
\(L(\mathrm{D})\) 叫做微分算子 \(\mathrm{D}\) 的 \(n\) 次多项式。于是方程 \((5)\) 可记作
如同讨论二阶常系数齐次线性微分方程那样，令 \(y = \mathrm{e}^{rx}\) 。由于 \(\mathrm{D}\mathrm{e}^{rx} = r \mathrm{e}^{rx}, \cdots, \mathrm{D}^n \mathrm{e}^{rx} = r^n \mathrm{e}^{rx}\) ，故 \(L(\mathrm{D}) \mathrm{e}^{rx} = L(r) \mathrm{e}^{rx}\)。因此把 \(y = \mathrm{e}^{rx}\) 代入方程 \((5)\)，得
由此可见，如果选取 \(r\) 是 \(n\) 次代数方程 \(L(r) = 0\) 即
的根，那么作出的函数 \(y = \mathrm{e}^{rx}\) 就是方程 \((5)\) 的一个解。
方程 \((6)\) 叫做方程 \((5)\) 的特征方程。
根据特征方程的根，可以写出其对应的微分方程的解如下：
| 特征方程的根 | 微分方程通解中的对应项 |
|---|---|
| 单实根 \(r\) | 给出一项：\(C \mathrm{e}^{rx}\) |
| 一对单复根 \(r_{1, 2} = \alpha \pm \beta \mathrm{i}\) | 给出两项：\(\mathrm{e}^{\alpha x} (C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x)\) |
| \(k\) 重实根 \(r\) | 给出 \(k\) 项：\(\mathrm{e}^{rx} (C_1 + C_2 x + \cdots + C_k x^{k - 1})\) |
| 一对 \(k\) 重复根 \(r_{1, 2} = \alpha \pm \beta \mathrm{i}\) | 给出 \(2k\) 项： \(\mathrm{e}^{\alpha x} [(C_1 + C_2 x + \cdots + C_k x^{k - 1}) \cos \beta x + (D_1 + D_2 x + \cdots + D_k x^{k - 1}) \sin \beta x]\) |
从代数学知道，\(n\) 次代数方程有 \(n\) 个根（重根按重复数计算），而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项，且每项哥含一个任意常数，这样就得到 \(n\) 阶常系数齐次线性微分方程的通解
