Lecture 05 Real-time Environment Mapping

Lecture 05 Real-time Environment Mapping

Recap: Environment Lighting

• 一张表示了来自四面八方的无穷远处光(distance lighting)的图片
• Spherical map vs. cube map

Shading from environment lighing

非正式地命名为Image-Based Lighting (IBL)

\[L_o(p,\omega_o)=\int_{\Omega^+}L_i(p,\omega_i)f_r(p,w_i,w_o)\cos\theta_id\omega_i\\ 这里的渲染方程去掉了V(p,\omega_i) Visibility项，因为没有考虑阴影\\ \Omega^+表示上半球，和法线点乘是正的方向 \]

• 通用解法：Monte Carlo intergration蒙特卡洛积分
  • 数值上无偏的近似
  • 需要大量的样本
• 问题：非常慢
  • 通常，如果shader中出现了sampling，很可能就不能用在实时渲染中
    • 因为tempore的进展，时间、空间的滤波方式，sample复用的方式，使得越来越多的基于sampling的方法可以在实时渲染中应用了
    • 但是还是尽量避免sampling
  • 尽可能避免sampling

\[L_o(p,\omega_o)=\int_{\Omega^+}L_i(p,\omega_i)f_r(p,w_i,w_o)\cos\theta_id\omega_i\\ \]

渲染方程Lighting项和BRDF项相乘再积分

• 如果BRDF项是glossy的（左图），说明覆盖球面的情况下覆盖的挺小（support小）
• 如果BRDF项是diffuse的（右图），覆盖半球区域大，但是非常smooth

于是可以用经典的近似方案：

条件：

• g(x)的support比较小
• g(x)比较smooth

满足其一即可

\[\int_{\Omega}f(x)g(x)dx \approx \frac{\int_{\Omega_G}f(x)dx}{\int_{\Omega_G}dx}\cdot \int_{\Omega}g(x)dx\\ 这里f(x)只需积g函数有值的地方就好 \]

\[L_o(p,\omega_o) \approx \frac{\int_{\Omega_{f_r}}L_i(p,\omega_i)d\omega_i}{\int_{\Omega_{f_r}}d\omega_i} \cdot \int_{\Omega^+}f_r(p,\omega_i,\omega_o)\cos\theta_i d\omega_i \]

将Lighting项拆出来，表示为光照在BRDF项范围的积分，再除以一个在BRDF项范围内的空积分来做归一化

*区别于前面Shadow Map，Shadow Map中是将Visibility项拆出来，这里是将Light拆出来

也可以理解成拆出来的项是在滤波，而support的大小决定了filter核的大小

The split sum approximation

1st Stage Prefiltering

这里是在球面上做预计算

• 用不同大小的滤波核近似
• 查询时通过上一步生成的图中三线性插值得到中间filter size的图（类似Mipmap）

为什么要做filtering？

要计算一个shading point对应的环境光项，会在其周围分布一些采样，再做加权平均，从而得到shading point的值

这个操作就约等于先对环境光做好一个filtering，这样采样到的环境光的任何一个点都是原先一系列点的加权平均，于是就只需在镜面反射的方向上查询一次

这里对应的是前面渲染方程中拆出来的Lighting项

2nd Stage

思想：

• 预计算所有可能的参数（roughness, color (Fresnel term) ）的不同组合得出的值
• 这样做参数太多，需要一个五维的表来记录结果（roughness一维，rgb三维，角度一维）
• 预计算是非常正常的做法，但可能无法承受高纬度的预计算
• 如何降低维度？

Recall: Microfacet BRDF 微表面BRDF

\[f(i,o)=\frac{F(i,h)G(i,o,h)D(h)}{4(n,i)(n,o)}\\ F(i,h)为Fresnel\ term菲涅尔项，决定垂直地看向物体表面，有多少能量被反射，直接决定了颜色\\ G(i,o,h)为shadowing-masking term，描述光线入射或反射时被其他微表面遮挡的情况，\\G为几何衰减因子，输出未被遮蔽而能从l反射到v方向的比例\\ D(h)为微表面法线分布项，如果法线分布在四面八方则为diffuse，如果都集中在某一方向则接近镜面\\ \]

Schlick's approximation

\[R(\theta)=R_0+(1-R_0)(1-\cos\theta)^5\\ R_0=(\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2})^2\\ R_0初始反射率,\theta入射角度\\ 一般认为入射光与法线夹角、出射光与法线夹角，以及半角（入射光和出射光夹角的一半）是可以互换的 \]

能够近似地描述菲涅尔项，将其近似成一个指数函数，定义了一个初始反射率\(R_0\)，以及函数如何增长\((1-\cos\theta)^5\)

Beckmann distribution

\[D(h)=\frac{e^{-\frac{\tan^2\theta_h}{\alpha^2}}}{\pi\alpha^2\cos^4\theta_h}\\ \alpha\ roughness，定义这个分布是胖还是瘦，决定材质是diffuse还是glossy\\ \theta_h\ half\ vector半程向量和法线的夹角,可以通过某种方式描述成跟入射角相关的\\ \]

NDF项使用Beckmann distribution，结果只与粗糙度\(\alpha\)和半程向量与法线夹角\(\theta_h\)有关

降维后的预计算

于是就将刚刚五维的预计算变成了三维的预计算，参数为\(初始反射率R_0,入射角\theta，roughness\ \alpha\)

继续降维：

\[\int_{\Omega^+}f_r(p,\omega_i,\omega_0)\cos\theta_id\omega_i \approx R_0\int_{\Omega^+}\frac{f_r}{F}(1-(1-\cos\theta_i)^5)\cos\theta_id\omega_i+\\ \int_{\Omega^+}\frac{f_r}{F}(1-\cos\theta_i)^5\cos\theta_id\omega_i \]

将\(R_0\)拆到了积分外边，将原本积分对于基础反射率\(R_0\)的依赖给消除了，BRDF中的\(f_r\)和菲涅尔项\(F\)上下消掉了，剩下的只有两个参数\(\theta_i和\alpha\)，降到了二维，这样两个积分部分刚好放在一张纹理的两个通道，于是计算环境光照只需求查询纹理，不需要采样了

• 计算避免了sampling
• 非常快且结果正确

在工业界叫做split sum

• split integral 积分\(\rightarrow\)split sum 求和
• \(\frac{1}{N}\underset{k=1}{\overset{N}\sum}\frac{L_i(l_k)f(l_k,v)\cos\theta_{l_k}}{p(l_k,v)}\approx(\frac{1}{N}\underset{k=1}{\overset{N}{\sum}}L_i(l_k))(\frac{1}{N}\underset{k=1}{\overset{N}{\sum}}\frac{f(l_k,v)\cos\theta_{l_k}}{p(l_k,v)})\)