积分上限的函数及其导数
设 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上连续，\(x\)为 \([a,b]\) 上任意一点，则\(f(x)\)在 \([a,b]\) 区间也是连续的
因此定积分： \(\int_{a}^{x} f(t)dt\) 存在
故对任意 \(x \in [a,b]\)，有唯一确定的数 \(\int_{a}^{x} f(t)dt\) 与之对应
由此在 \([a,b]\) 上定义了一个新的函数，称其为积分上限的函数，记作 \(\Phi (x)\) （如下图） ，即：
\[\Phi (x)=\int_{a}^{x} f(t)dt , (a \le x \le b)
\]
Theorem
expression
若函数 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上连续，则积分上限的函数：
\[\Phi(x)=\int_{a}^{x} f(t)dt
\]
在 $[a,b] $ 上连续可导，并且它的导数为:
\[\Phi' (x)= \frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t)dt=f(x),
\enspace \enspace
(a\le x \le b)
\]
