本章主要讲解正弦定理、余弦定理、海伦公式、Stewart's Theorem。
本文在没有特殊说明时，默认在 \(\triangle ABC\) 中：
- \(a\) 为角 \(A\) 对边，\(b\) 为角 \(B\) 对边，\(c\) 为角 \(C\) 对边。
- \(r\) 为内切圆半径（inradius），\(R\) 为外接圆半径（circumradius）。
- \([ABC]\) 为 \(\triangle ABC\) 的面积。
- \(s\) 为半周长（semiperimeter）。
余弦定理（law of cosines）
书上给了一个运用圆幂定理（the Power of a Point Theorem）的方法，但是太过复杂，事实上直接解三角形即可证。
\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C
\]
\[\cos C = \dfrac {a^2 + b^2 - c^2} {2ab}
\]
一般用于：
- 已知 SAS 求 S
- 已知 SSS 求 A
经典结论
- \(c^2 < a^2 + b^2\) 当且仅当 \(\angle C\) 为锐角（acute angle）
- \(c^2 > a^2 + b^2\) 当且仅当 \(\angle C\) 为钝角（obtuse angle）
正弦定理（law of sines）
\[\dfrac a {\sin A} = \dfrac b {\sin B} = \dfrac c {\sin C} = 2R
\]
一般用于：
- 已知 ASA / AAS 求 S
- 已知 SAS / SSA 求 A
经典结论
小角对小边，大角对大边。（\(\angle_A > \angle_B\) 当且仅当 \(a > b\)）
正切定理（law of tangents）
\[\dfrac {a-b} {a+b} = \dfrac {\tan \frac {A-B} 2} {\tan \frac {A+B} 2}
\]
三角形的面积公式
\[[ABC] = \dfrac 1 2 ab \sin C = \dfrac {abc} {4R} = rs = \dfrac {a^2 \sin B \sin C} {2 \sin A} = 2R^2 \sin A \sin B \sin C
\]
海伦公式（Heron's formula）
\[[ABC] = \sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}
\]
展开形式：
\[[ABC] = \dfrac 1 4 \sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}
\]
Stewart's Theorem
\[man + dad = bmb + cnc
\]
（A \(man\) and his \(dad\) put a \(bomb\) in the \(sink\)）
中线长公式
当 \(m=n\) 时：
\[d = \sqrt {\dfrac 1 2 b^2 + \dfrac 1 2 c^2 - \dfrac 1 4 a^2}
\]
角平分线长公式
当 \(\dfrac b n = \dfrac c m\) 时：
\[d = \sqrt {bc \left(1 - \dfrac {a^2} {(b+c)^2}\right)}
\]
另一个公式：（习题 No. 53）
\[d = 2 \cos \frac C 2 \dfrac 1 {\frac 1 a + \frac 1 b}
\]
课后习题
No. 46
Problem
Show that in \(\triangle ABC\),
\[\sin \dfrac A 2 = \sqrt {\dfrac {(s-b)(s-c)} {bc}}
\]
Solution
\[\begin{aligned}
RHS &= \sqrt {\dfrac {\frac {a-b+c} 2 \frac {a+b-c} 2} {bc}} \\
&= \dfrac 1 2 \sqrt {\dfrac {a^2 -b^2 - c^2 + 2bc} {bc}} \\
&= \dfrac 1 2 \sqrt{2 - 2 \cos A} \\
&= \dfrac 1 2 \sqrt {2 - 2 \left(\cos^2 \frac A 2 - \sin^2 \frac A 2\right)} \\
&= \dfrac 1 2 \sqrt {4 \sin^2 \frac A 2} \\
&= \sin \frac A 2
\end{aligned}\]
No. 57
Problem
Prove that if \(\alpha, \beta, \gamma > 0\) and \(\alpha + \beta + \gamma = \pi\), then \(\sin 2\alpha + \sin 2\beta + \sin 2\gamma = 4 \sin\alpha \sin\beta \sin\gamma\).
Solution
令 \(\alpha, \beta, \gamma\) 为一个三角形的三个角，记为 \(A,B,C\)。
\[\begin{aligned}
RHS &= 4 \sin A \sin B \sin C \\
&= 4 \dfrac {abc} {8R^3} \\
&= \dfrac 2 {R^2} [ABC]
\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}
LHS &= \sin 2A + \sin 2B + \sin 2C \\
&= 2 (\sin A \cos A + \sin B \cos B + \sin C \cos C) \\
&= \dfrac 2 {R^2} [ABC]
\end{aligned}\]
LHS 的最后一步可以通过圆周角定理之后作高得出。
