门罗币隐私保护之环签名

news/2024/10/22 21:12:21

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简介

在《门罗币隐私保护之隐形地址》文章中，我们重点介绍了门罗币Monero的隐形地址技术，门罗币通过隐形地址保证了交易的不可链接性，并实现了用户的隐私保护和监管需求。

本文将继续介绍门罗币的另一个核心技术——环签名技术，Monero通过环签名技术，实现了交易的不可追踪性。

不可链接性（Unlinkability）：对于任何两笔outgoing交易，无法证明它们是发送给同一个人的。即对于任何两个 outgoing 交易，无法证明它们是由同一个人收款的。
不可追踪性（Untraceability）：对于每一笔incoming交易，所有可能的发送者都是等概率的。这意味着，对于任何两个incoming交易，无法证明它们是由同一个人发送的。

注：incoming和outgoing交易分别表示用户的收款和支出交易。

基础知识

术语定义

\(\mathbb{Z}_l\)：有限域，\(l\)是一个大素数，如：\(l = 2^{252} + 27742317777372353535851937790883648493\)
\(P_i\)：公钥，在环签名中表示环中第\(i\)个公钥, 当\(i = s\)时，\(P_s\)是签名者的公钥
\(R\)：环签名的环，一组公钥的集合，\(R = {P_1, P_2, ..., P_n}\)，包含\(P_s\)
\(x_s\)或者x_s：环签名中签名者的私钥, 私钥范围在\(\mathbb{Z}_l\)内
\(\sigma\)：环签名的签名结果
\(m\)：待签名的消息。在签名时，通常会先对消息进行哈希处理。
\(H_s\)：特性哈希函数, 将输入映射到\(\mathbb{Z}_l\)，如：\(H_s: \{0, 1\}^* \rightarrow \mathbb{Z}_l\)
\(H_p\)：特性哈希函数, 将输入映射到椭圆曲线上的点，如：\(H_p: \{0, 1\}^* \rightarrow E(\mathbb{F}_q)\)
\(I\)：密钥镜像，在门罗币中使用，用于防止双花攻击

环签名

环签名(Ring Signature)是一种数字签名方案，允许一组用户中的任何一个用户为某个消息生成签名，而不需要透露具体是哪个用户生成的签名。环签名的主要特点是它提供了签名的匿名性和可验证性，确保签名者的身份在签名过程中保持隐私。

环签名的基本概念

环：环签名的“环”指的是一组公钥，这些公钥代表了可能的签名者。签名者在生成签名时，会选择一个环中的公钥作为自己的身份，但外部观察者无法确定具体是哪个公钥对应的用户。
签名：签名者使用自己的私钥和环中其他用户的公钥生成签名。这个签名可以被任何人验证，但无法确定签名者的身份。
验证：任何人都可以使用环来验证签名的有效性，确保签名确实是由环中的某个用户生成的。

环的大小是环签名方案的一个重要参数，环越大，签名者的身份越难以确定，签名的匿名性越高。但是环的大小也会影响签名的计算和验证性能，因此需要在匿名性和性能之间进行权衡。

环签名构造和验证流程

初始化：签名者Bob选择环R中的公钥，如{\({P_1, P_2, ..., P_i, ..., P_n}\)}，其中Bob自身的公钥\(P_s\)也在放入环R中
生成签名：Bob基于环R中的公钥和自己的私钥\(x_s\)以及待签名消息\(m\)，生成环签名\(\sigma\)
验证签名：任何人都可以基于环R，消息m对签名\(\sigma\)进行验证

环签名方案涉及一个三元组\((KeyGen, Sign, Verify)\)，其中：

\(KeyGen\)：密钥生成算法，签名者使用\(KeyGen\)生成公私钥对\((P_s, x_s)\)
\(Sign(m, R, x_s)\)：签名算法，签名者使用\(Sign\)生成环签名\(\sigma\), 其中\(m\)是消息，\(R\)是环，\(x_s\)是签名者的私钥
\(Verify(m, R, \sigma)\)：验证算法，任何人都可以使用\(Verify\)验证签名的有效性。算法结果为布尔值，\(true\)表示签名有效，\(false\)表示签名无效。

门罗币之环签名

回顾在《门罗币隐私保护之隐形地址》介绍的交易模型，Bob作为收款方，能够验证每一笔相关交易的有效性。

进一步说明：

Bob作为收款人，在验证每笔交易时，Bob只需对每个输出执行两次椭圆曲线乘法和一次加法（即生成\(P'\))，以检查该交易是否属于他。
对于每个属于Bob的UTXO，Bob恢复一个密钥对\((x, P)\)并将其存储在钱包中。
只有Bob可以生成地址\(P\)的私钥\(x\)，因此只有Bob能够花费这笔收入。

值得注意的是，\((P, x)\)是一次性密钥，当Bob花费这笔收入时，会使用该密钥参与环签名，之后可以丢弃。

门罗币环签名

门罗币使用环签名技术，实现了交易的不可追踪性。门罗币的环签名方案基于CryptoNote协议。在CryptoNode协议中，环签名交易模型如下：

加入环：Bob从门罗币公开账本中随机选择UTXO，以及自己待花费的UTXO，放入到新创建的UTXO中，作为交易的Tx input, 所有UTXO的收款方地址{\({P_1, ..., P_s, ..., P_n}\)}构成环\(R\)
生成密钥镜像：Bob使用自己的签名私钥\(x_s\)和公钥\(P_s\), 生成密钥镜像\(I\)，区块链矿工在验证交易时，会验证\(I\)是否已经被使用过，以防止双花攻击
生成签名：Bob使用环\(R\)和自己的私钥\(x_s\)，对交易进行签名，生成环签名\(\sigma\)

门罗币环签名方案

门罗币环签名方案涉及一个四元组\((KeyGen, Sign, Verify, Link)\)，其中：

\(KeyGen, Sign, Verify\)与一般的环签名方案功能类似
\(Link\)：区块链矿工通过\(Link\)算法验证对应的密钥镜像\(I\)是否已经被使用过，以防止双花攻击

密钥生成KeyGen

门罗币的KeyGen算法与一般的环签名方案类似，目的都是生成公私钥对\((P_s, x_s)\)，其中\(P_s\)是签名者的公钥，\(x_s\)是签名者的私钥。
不同的是：

门罗币的公钥来自于隐形地址技术，即\(P_s = H_s(aR)G + B\), 对应的私钥\(x_s = H_s(aR) + b\)
门罗币的KeyGen算法还会生成密钥镜像\(I\)，用于防止双花攻击。其中, \(I = x_s \cdot H_p(P_s)\)

签名算法Sign

在门罗币中，由于签名公私钥对\((P_s, x_s)\)是由隐形地址技术生成的，并且仅用于一次性签名，因此门罗币环签名我们也称为一次性环签名。

门罗币的Sign算法如下：

初始化：
- 随机选取其他用户的公钥\(P_i\)，结合自己的公私钥对\((x_s, P_s)\)，构成环\(R = {P_1, P_2, ..., P_s, ..., P_n}\)
- 选择两个随机数集合\(Q\)和\(W\)，如下
  - \(Q = \{q_i\}\), \(i = 1, 2, ..., n \And q_i \in \mathbb{Z}_l\)
  - \(W = \{w_i\}\), \(i = 1, 2, ..., n \And i \neq s \And w_i \in \mathbb{Z}_l\)
计算环签名(类似零知识承诺：承诺-挑战-响应，可以参考之前的文章《零知识证明之承诺方案》
- 计算承诺，承诺由两个集合组成\(L\)和\(R\)，集合元素计算如下：
  
  \[L_i = \begin{cases}q_i \cdot G + w_i \cdot P_i & \text{if } i \neq s \\q_s \cdot G & \text{if } i = s\end{cases} \]
  \[R_i =\begin{cases}q_i \cdot H_p(P_i) + w_i \cdot I & \text{if } i \neq s \\q_s \cdot H_p(P_s) & \text{if } i = s\end{cases} \]
- 计算挑战(实际上是前面已有知识的哈希值)
  
  \[c = H_s(m, L, R) = H_s(m, L_1, ..., L_n, R_1, ..., R_n) \]
  其中，\(m\)是待签名的消息，在这里表示交易信息(签名除外，因为签名还未生成)
- 计算响应
\[c_i =\begin{cases}w_i & \text{if } i \neq s \\c - \sum_{i \neq s, i = 0}^{n} c_i \mod l & \text{if } i = s\end{cases} \]
\[r_i =\begin{cases}q_i & \text{if } i \neq s \\q_s - c_s \cdot x_s \mod l & \text{if } i = s\end{cases} \]
\[\sigma = (I, c_1, ..., c_n, r_1, ..., r_n) \]
其中，\(\sigma\)就是环签名的签名值，\(\sigma\)

验证算法Verify

区块链矿工在收到交易后，会对交易进行签名验证。矿工已知\(R = {P_1, P_2, ..., P_n}\)，以及环签名\(\sigma = (I, c_1, ..., c_n, r_1, ..., r_n)\), 签名验证Verify算法如下：

\(L^{'}\)和\(R^{'}\)为两个集合，\(\forall i \in [0, n]\)

\[L_i^{'} = r_i \cdot G + c_i \cdot P_i \]

\[R_i^{'} = r_i \cdot H_p(P_i) + c_i \cdot I \]

签名验证等式

\[\sum_{i=0}^{n} c_i \stackrel{?}{=} H_s(m, L^{'}, R^{'}) \]

如果上述等式成立，则签名有效，否则签名无效，交易被拒绝。

正确性验证

计算\(L^{'}\)

\[L_i^{'} = r_i \cdot G + c_i \cdot P_i = \]

\[\begin{cases} q_i \cdot G + w_i \cdot P_i & \text{if } i \neq s \\ (q_s - c_s \cdot x_s) \cdot G + c_s \cdot P_s = q_s \cdot G - c_s \cdot x_s \cdot G + c_s \cdot P_s = q_s \cdot G & \text{if } i = s \end{cases} \]

\[= \begin{cases} q_i \cdot G + w_i \cdot P_i & \text{if } i \neq s \\ q_s \cdot G & \text{if } i = s \end{cases} \]

\[= L_i \]

在上述推导中，由于\(P_s = x_s \cdot G\)，所以：\(-c_s \cdot x_s \cdot G + c_s \cdot P_s = -c_s \cdot P_s + c_s \cdot P_s = 0\)

计算\(R^{'}\)

\[R_i^{'} = r_i \cdot H_p(P_i) + c_i \cdot I = \]

\[\begin{cases} q_i \cdot H_p(P_i) + w_i \cdot I & \text{if } i \neq s \\ (q_s - c_s \cdot x_s) \cdot H_p(P_s) + c_s \cdot I = q_s \cdot H_p(P_s) - c_s \cdot x_s \cdot H_p(P_s) + c_s \cdot I = q_s \cdot H_p(P_s) & \text{if } i = s \end{cases} \]

\[= \begin{cases} q_i \cdot H_p(P_i) + w_i \cdot I & \text{if } i \neq s \\ q_s \cdot H_p(P_s) & \text{if } i = s \end{cases} \]

\[= R_i \]

在上述推导中，由于\(I = x_s \cdot H_p(P_s)\)，所以：\(-c_s \cdot x_s \cdot H_p(P_s) + c_s \cdot I = -c_s \cdot I + c_s \cdot I = 0\)

计算\(\sum_{i=0}^{n} c_i\)

\[\sum_{i=0}^{n} c_i = c_1 + c_2 + ... + c_s + ... + c_n \]

\[= \sum_{i \neq s, i = 0}^{n} c_i + c_s \]

\[= \sum_{i \neq s, i = 0}^{n} w_i + (c - \sum_{i \neq s, i = 0}^{n} c_i \mod l) \]

\[= c \]

\[= H_s(m, L, R) \]

由于\(L^{'} = L\)且\(R^{'} = R\)，所以：

\[H_s(m, L^{'}, R^{'}) = H_s(m, L, R) = c \]

因此，签名验证等式成立，签名有效。

双花验证Link

，密钥镜像和密钥对之间的关系如下：

\[I = x_s \cdot H_p(P_s) \]

密钥镜像\(I\)的计算方式，反映了用户密钥和密钥镜像之间存在一一对应关系，而用户密钥(x, P)基于隐形地址技术，只使用一次，且与交易绑定。
矿工会记录所有交易的密钥镜像列表，在收到新交易时，会检查交易中的\(I\)是否已存在于列表中，如果存在，则说明该交易的(x, P)已经被使用过，是一笔双花交易，交易被拒绝。