高等数学 7.1 微分方程的基本概念

一般地，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程，有时也简称方程。

微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶。

一般地，\(n\) 阶微分方程的形式是

\[F(x, y, y', \cdots, y^{(n)}) = 0 \tag{1} \]

这里必须指出，在方程 \((1)\) 中，\(y^{(n)}\) 是必须出现的，而 \(x, y, y', \cdots, y^{(n - 1)}\) 等则可以不出现。例如 \(n\) 阶微分方程 \(y^{(n)} + 1 = 0\) 中，除 \(y^{(n)}\) 外，\(y\) 的其他阶导数和自变量 \(x\) 都没出现。

如果能从方程 \((1)\) 中解出最高阶导数，那么可得微分方程

\[y^{(n)} = f(x, y, y', \cdots, y^{(n - 1)}) \tag{2} \]

在研究某些实际问题时，首先要建立微分方程，然后找出满足微分方程的函数（解微分方程），就是说，找出这样的函数，把函数代入微分方程，能使该方程成为恒等式。这个函数就叫做该微分方程的解。确切地说，设函数 \(y = \varphi (x)\) 在区间 \(I\) 上有 \(n\) 阶连续导数，如果在区间 \(I\) 上，

\[f[x, \varphi(x), \varphi'(x), \cdots, \varphi^{(n)}(x)] \equiv 0 \]

那么函数 \(y = \varphi(x)\) 就叫做微分方程 \((1)\) 在区间 \(I\) 上的解。

如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。

由于通解中含有任意常数，所以它还不能完全确定地反映函数所代表的某一客观事物的规律性。要完全确定地反映客观事物的规律性，必须确定这些常数的值。为此，要根据问题的实际情况，提出确定这些常数的条件。

设微分方程中的未知函数为 \(y = \varphi(x)\) ，如果微分方程是一阶的，通常用来确定任意常数的条件是

\[x = x_0 时，\quad y = y_0 \]

或写成

\[\left . y \right|_{x = x_0} = y_0 \]

其中 \(x_0, y_0\) 都是给定的值；如果微分方程是二阶的，通常用来确定任意常数的条件是

\[x = x_0时, \quad y = y_0, \quad y' = y'_0 \]

其中 \(x_0, y_0 和 y'_0\) 都是给定的值。上述这种条件叫做初值条件。

确定了通解中的任意常数以后，就得到微分方程的特解。

求微分方程 \(y' = f(x, y)\) 满足初值条件 \(\left . y \right|_{x = x_0} = y_0\) 的特解这样一个问题，叫做一阶微分方程的初值问题，记作

\[\begin{cases} y' = f(x, y) \\ \left . y \right|_{x = x_0} = y_0 \end{cases} \tag{3} \]

微分方程的解的图形是一条曲线，叫做微分方程的积分曲线。初值问题 \((3)\) 的几何意义，就是求微分方程的通过点 \((x_0, y_0)\) 的那条积分曲线。二阶微分方程的初值问题

\[\begin{cases} y'' = f(x, y, y') \\ \left . y \right|_{x = x_0} = y_0, \left. y' \right|_{x = x_0} = y'_0 \end{cases} \]

的 几何意义，是求微分方程的通过点 \((x_0, y_0)\) 且在该点处的切线斜率为 \(y'_0\) 的那条积分曲线。