高等数学 5.5 反常积分的审敛法 Γ函数

目录

• 一、无穷限反常积分的审敛法
• 二、无界函数的反常积分审敛法
• 三、\(\Gamma\) 函数

一、无穷限反常积分的审敛法

定理1 设函数 \(f(x)\) 在区间 \([a, +\infty)\) 上连续，且 \(f(x) \geqslant 0\).若函数

\[F(x) = \int_a^x f(t) \mathrm{d}t \]

在 \([a, +\infty)\) 上有上界，则反常积分 \(\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x\) 收敛。

定理2（比较审敛原理） 设函数 \(f(x)\)，\(\mathrm{g}(x)\) 在区间 \([a, +\infty)\) 上连续。如果 \(0 \leqslant f(x) \leqslant \mathrm{g}(x)(a \leqslant x < +\infty)\) 并且 \(\displaystyle \int_a^{+\infty} \mathrm{g}(x) \mathrm{d}x\) 收敛，那么 \(\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x\) 也收敛；如果 \(0 \leqslant \mathrm{g}(x) \leqslant f(x)(a \leqslant x < +\infty)\) ，并且 \(\displaystyle \int_a^{+\infty} \mathrm{g}(x) \mathrm{d}x\) 发散，那么 \(\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x\) 也发散。

定理3（比较审敛法1） 设函数 \(f(x)\) 在区间 \([a, +\infty) (a > 0)\) 上连续，且 \(f(x) \geqslant 0\) .如果存在常数 \(M > 0\) 及 \(p > 1\) ，使得 \(f(x) \leqslant \cfrac{M}{x^p}(a \leqslant x < +\infty)\) ，那么反常积分 \(\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x\) 收敛；如果存在常数 \(N > 0\) 使得 \(f(x) \geqslant \cfrac{N}{x}(a \leqslant x < +\infty)\)，那么反常积分 \(\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x\) 发散。

定理4（极限审敛法1） 设函数 \(f(x)\) 在区间 \([a, +\infty)\) 上连续，且 \(f(x) \geqslant 0\) 。如果存在常数 \(p > 1\) ，使得 \(\lim\limits_{x \to +\infty} x^p f(x) = c < +\infty\)，那么反常积分 \(\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x\) 收敛；如果 \(\lim\limits_{x \to +\infty} x f(x) = d > 0\) （或 \(\lim\limits_{x \to +\infty} x f(x) = +\infty\)），那么反常积分 \(\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x\) 发散。

定理5 设函数 \(f(x)\) 在区间 \([a, +\infty)\) 上连续。如果反常积分

\[\int_a^{+\infty} |f(x)| \mathrm{d}x \]

收敛，那么反常积分

\[\int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x \]

也收敛。

通常称满足定理5条件的反常积分 \(\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x\) 绝对收敛。定理5可简单的表述为：绝对收敛的反常积分 \(\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x\) 必定收敛。

二、无界函数的反常积分审敛法

定理6（比较审敛法2） 设函数 \(f(x)\) 在区间 \((a, b]\) 上连续，且 \(f(x) \geqslant 0\) ，\(x = a\) 为 \(f(x)\) 的瑕点。如果存在常数 \(M > 0\) 及 \(q < 1\)，使得

\[f(x) \leqslant \cfrac{M}{(x - a)^q} \quad (a < x \leqslant b), \]

那么反常积分 \(\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x\) 收敛；如果存在常数 \(N > 0\) ，使得

\[f(x) \geqslant \cfrac{N}{x - a} \quad (a < x \leqslant b), \]

那么反常积分 \(\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x\) 发散。

定理7（极限审敛法2） 设函数 \(f(x)\) 在区间 \((a, b]\) 上连续，且 \(f(x) \geqslant 0\) ，\(x = a\) 为 \(f(x)\) 的瑕点。如果存在常数 \(0 < q < 1\)，使得

\[\lim_{x \to a^+} (x - a)^q f(x) \]

存在，那么反常积分 \(\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x\) 收敛；如果

\[\lim_{x \to a^+} (x - a) f(x) = d > 0 \quad (或 \lim_{x \to a^+} (x - a) f(x) = +\infty), \]

那么反常积分 \(\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x\) 发散。

三、\(\Gamma\) 函数

\(\Gamma\) 函数的定义如下：

\[\Gamma (s) = \int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-x} x^{s - 1} \mathrm{d}x \quad (s > 0) \]

\(\Gamma 函数\) 的几个重要性质：

1. 递推公式 \(\Gamma (s + 1) = s \Gamma(s) \quad (s > 0)\) ；
   一般地，对任何正整数 \(n\) ，有

\[\Gamma(n + 1) = n! \]

所以我们可以把 \(\Gamma\) 函数看成是阶乘的推广。

2. 当 \(s \to 0^+\) 时，\(\Gamma(s) \to +\infty\)
3. \(\Gamma(s) \Gamma(1 - s) = \cfrac{\pi}{\sin{\pi s}} (0 < s < 1)\) .
   这个公式称为余元公式。