线性代数--矩阵

矩阵

• 代表一张树表
• m*n 行数不一定等于列数
  $$A=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right)$$
• 同型矩阵 有前提：AB行数相等 列数相等
  $$A_{34}{B}_{34}$$
• 矩阵相等 同型矩阵并且对应的元素相等
• 零矩阵 所有元素均为0
  两个零矩阵一定相等是错误的：矩阵相等的前提是同型矩阵

特殊矩阵

• 方阵： 行数===列数 也有主对角线和副对角线
  一行一列：$$A=\left(\begin{array}{c}1\end{array}\right)=1$$
• 负矩阵 方阵
  所有元素都取相反数
• 上三角形矩阵，不能这样写。方阵
  
• 下三角形矩阵 方阵
• 对角型矩阵 方阵
• 数量矩阵 方阵
  主对角元素全是一样，特殊的对角型矩阵
• 单位阵 方阵
  主对角元素全是1

矩阵的加减法

• 对应的元素相加减,有前提条件，必须要为同型矩阵
  $$\begin{array}{l}A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 1& 4\end{array}\right)B=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 9\\ 10& 1& 3\end{array}\right)\\ A+B=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 12\\ 11& 2& 7\end{array}\right)A-B=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -6\\ -9& 0& 1\end{array}\right)\end{array}$$
• 运算规律：

1. A + B = B + A
2. (A + B) + C = A + (B + C)
3. A + 0 = A 0为零矩阵 必须为同型矩阵
4. A +（-A）= 0
5. A - B = A +（-B）
6. A + B = C A = C - B

矩阵的数乘

• 矩阵提公因子：矩阵的所有元素均有公因子k，k向外提一次
• 行列式提公因子：

1. 行列式的某一行有公因子k，k向外提一次
2. 行列式的所有元素均有公因子k，k往外提n次

• 运算规律 K,L是数

1. K(A + B) =KA + KB
2. (K + L) A = KA + LA
3. (kL)A = k(LA) = L(kA)
4. 1 * A = A
5. -1 * A = -A

矩阵的乘法

"中间相等，取两头"
$$A_{2\times 4}{B}_{4\times 3}=C_{2\times 3}$$

• 两个矩阵做乘法的前提条件
  第一个矩阵的列数=第二个矩阵的行数
• 结果矩阵的形状
  结果矩阵的行数=第一个矩阵的行数
  结果矩阵的列数=第二个矩阵的列数
• 乘法不满足

1. 不满足交换律 AB 一般不等于 BA，AB有意义时，BA不一定有意义
   
2. 不满足消去律 AB = BC 且A不等于0 推不出B===C
   
3. AB = 0 推不出 A=0 或 B=0

• 左乘右乘，不能搞反，有问题
  
• 矩阵乘法满足

1. 结合律 （AB）C = A（BC）
2. 分配律 A（B+C）= AB + AC （B+C）A= BA + CA
3. k(AB) = (kA)B = A(kB)
4. AE = EA = A
5. AO = OA = O O是零矩阵
6. 对角型 $$\left[\begin{array}{cccc}a& 0& \cdots & 0\\ 0& a& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & a\end{array}\right]=a\left[\begin{array}{cccc}1& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right]=aE$$
7. $$\left[\begin{array}{cccc}{a}_1& 0& \cdots & 0\\ 0& a_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & a_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}{b}_1& 0& \cdots & 0\\ 0& b_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & b_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{a}_1{b}_1& 0& \cdots & 0\\ 0& a_2{b}_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & a_n{b}_n\end{array}\right]$$

矩阵可交换的 AB= BA

1. AB是同阶方阵
2. 不是同阶方阵 一定不可交换
3. AB BA不想等 不可交换
4. E任何同阶方阵均可交换 EA = AE = A
5. 同阶的对角阵也可交换

方阵的幂 只有方阵才能求

$$\begin{array}{}{A}^k=A\cdot A\cdot A\cdot A\\ A^0=E\end{array}$$

• 性质

1. $$\begin{array}{}{A}^{k_1}\cdot A^{k_2}=A^{k_1+k_2}\end{array}$$
2. $$\begin{array}{}(A^{k_1}{)}^{k_2}=A^{k_1\cdot k_2}\end{array}$$

• 公式

2. 二次公式

3. 三次公式

4. 十字

例1：

矩阵的转置

$$\begin{array}{}{A}_{m\times n}=(A^T{)}_{n\times m}\end{array}$$

• 性质

1. $$\begin{array}{}(A^T{)}^T=A\end{array}$$
2. $$\begin{array}{}(A+B{)}^T=A^T+B^T\end{array}$$
   $$\begin{array}{}(A-B{)}^T=A^T-B^T\end{array}$$
3. $$\begin{array}{}(kA{)}^T=k{A}^T\end{array}$$
4. $$\begin{array}{}(AB{)}^T=B^T{A}^T\end{array}$$
   $$\begin{array}{}(ABC{)}^T=C^T{B}^T{A}^T\end{array}$$
5. $$\begin{array}{}(A^k{)}^T=(A^T{)}^k\end{array}$$

对称矩阵和反对称矩阵

奇数阶反对称行列式等于0

方阵的行列式 只有方阵才有行列式

$$\begin{array}{}A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right)\left|A\right|=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right|\end{array}$$

• 性质：

1. $$\begin{array}{}\left|A^T\right|=\left|A\right|\end{array}$$