快乐数学4弧度

4 弧度

我们大多数人都不知道为什么圆要有 360 度。在学习高等数学或物理时，我们会记住一个神奇的数字--“圆的大小”，并将自己设置为一个 “圆的360度”。

专家们说：“弧度让数学变得更简单！”但却没有简单的理由（涉及泰勒级数的讨论并不简单）。今天，我们将揭开弧度的真面目，以及弧度让数学更简单的直观原因。

4.1 读书从何而来？

在数字和语言之前，我们有星星。
古代文明利用天文学来标记季节、预测未来和安抚神灵。

• 人类注意到，星座每年都会移动一整圈--每天都会偏差一点点（“一度”）。
• 因为一年大约有 360 天，所以一个圆就有 360 度。

4.2 以太阳为数学基础似乎完全合理

地球一年中 ∼360 天是一个很大的数字。在火星上，我们大约有 ∼680 度的圆周，火星年更长（火星的天数也更长，但你明白我的意思）。在欧洲部分地区，他们使用梯度法，即把一个圆分成 400 块。

4.3 弧度

度量角度的方法是看我们的头倾斜了多远。弧度以移动的距离来测量角度。

但绝对距离并不那么有用，因为根据赛道的不同，10 英里的路程是不同的圈数。因此，我们用半径除以弧度，就能得到一个角度：
弧度 = 走过的距离/半径 你经常会看到 θ = s/r，或者用弧度表示的角度 = 弧长除以半径。
一个圆有 360 度或 2π 弧度--绕一圈是 2πr/r。因此，一个弧度约为 360/2π 或 57.3 度。
现在，不要像我一样，在背诵时想着 “太好了，又多了一个单位”。57.3 度太奇怪了"。移动 1 弧度（单位）是非常正常的距离。反过来说，我们认为的 “干净利落的 90 度角 ”意味着移动者走了非常不干净的 π/2 个单位。想想看--"嘿，比尔，你能帮我跑 90 度吗？什么意思？哦，对了，从你的角度看就是π/2英里"。这种奇怪的感觉是双向的。
弧度是一种感同身受的数学方法--一种从仰头转向移动者视角的转变。严格来说，弧度是一种比率（长度除以另一长度）
并没有一个维度。实际上，我们不是数学机器人，把弧度看成 “单位圆上走过的距离 ”会有帮助。

参考资料

• 软件测试精品书籍文档下载持续更新 https://github.com/china-testing/python-testing-examples 请点赞，谢谢！
• 本文涉及的python测试开发库 谢谢点赞！ https://github.com/china-testing/python_cn_resouce
• python精品书籍下载 https://github.com/china-testing/python_cn_resouce/blob/main/python_good_books.md
• Linux精品书籍下载 https://www.cnblogs.com/testing-/p/17438558.html

4.4 使用弧度

我还在适应用弧度来思考问题。但我们经常会遇到 “移动距离 ”的概念：

• 在测量某些旋转速度时，我们使用 “每分钟旋转次数”，而不是 “每秒度数”。这是向移动者参考点（“它转了多少圈？”）的转变，而不是任意度量。
• 当卫星绕地球运行时，我们理解的速度是 “英里/小时”，而不是 “度/小时”。现在除以到卫星的距离，就得到了以每小时弧度为单位的轨道速度。
• 正弦，这个奇妙的函数，用弧度定义为

这个公式只有在 x 以弧度为单位时才有效！为什么呢？因为正弦与移动的距离有关，而不是与头部倾斜有关。不过这个问题我们留到以后再讨论。

4.5 弧度例 1：公共汽车的车轮

让我们举一个真实的例子：有一辆公共汽车，车轮半径为 2 米（这是一辆怪物卡车公共汽车）。我来说车轮转动的速度，你来说巴士移动的速度。准备好了吗？
“车轮每秒转动 2000 度"。你会想

• 好吧，车轮每秒转 2000 度。这意味着2000/360，即每秒转 5 又 5/9 圈。圆周率 =
  2πr，所以它在移动，嗯，2 乘以 3.14 乘以 5又5/9。我的计算器呢？. .

“车轮每秒转动 6 弧度"。你会这么想:

• 弧度是沿单位圆的距离--我们只需按实际半径的比例计算，就能知道我们走了多远。6-2 = 每秒 12 米。下一个问题
  哇哦 没有疯狂的公式，没有飘来飘去的 π - 只需乘法就能将转速转换为线速度。这都是因为弧度是以运动者为单位的。
  反过来也很简单。假设你的 24 英寸轮辋（半径 1 英尺）在高速公路上以每秒 90 英尺（每小时 60 英里）的速度行驶。车轮转动的速度有多快？
  那么，每秒 90 英尺 / 1 英尺半径 = 每秒 90 弧度。

4.6 弧度例2：sin(x)

是时候举个更厉害的例子了。微积分涉及很多方面，其中一个问题是当数字变得非常大或非常小时会发生什么。
选择一个度数 (x)，然后将 sin(x) 输入计算器：
当你把 x 变小，比如 0.01 时，sin(x) 也会变小。sin(x)/x 的比值似乎约为 0.017 - 这意味着什么？更奇怪的是，乘以或除以一度是什么意思？能有平方度或立方度吗？
弧度来帮忙！由于弧度指的是行进的距离（弧度不仅仅是一个比值！），我们可以这样解释这个等式：

• 因此，sin(x)/x 是你所处的高度与你所走过的距离的比值：即 “向上 ”方向的能量。如果垂直移动，该比率为 100%。如果是水平移动，该比率为 0%。
  当一个物体移动了很小的幅度，比如从我们的角度看是 0 到 1 度，它基本上就是在直线上升。如果移动的幅度再小一些，从 0 度到 0.00001 度，那就真的是直线上升了。移动的距离（x）与高度（sin(x)）非常接近。
  随着 x 的缩小，这个比例会越来越接近 100%--更多的运动是直线上升。
  弧度可以帮助我们直观地理解为什么当 x 越小时，sin(x)/x 越接近 1。我们只是在垂直方向上做了微小的移动。顺便说一下，这也解释了为什么小数的 sin(x) ∼ x。
  当然，你可以用微积分严格证明这一点，但弧度直觉有助于你理解它。
  记住，这些关系只在用弧度测量角度时有效。
  弧度。使用度数时，你需要将你在圆上的高度（sin(x)）与某个观察者的头部倾斜程度（x 度）进行比较，这很快就会变得很难看。

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4.7 重点是什么？

度数有它的用处：在我们的生活中，我们是焦点，我们想知道事物对我们的影响。我的望远镜要倾斜多少度，滑雪板要旋转多少度，方向盘要转动多少度？

• 度是任意的，因为它们是以太阳为基础的（365 天 ∼ 360 度），但它们是反向的，因为它们是从观察者的角度出发的。
• 因为弧度是以运动者为单位的，所以等式 “一目了然”。
  将旋转速度转换为线性速度很容易，sin(x)/x 这样的概念也很有意义。
  即使是角度，也可以从多个角度观察，理解弧度会让数学和物理方程更加直观。快乐数学

4.8 小结

• 角度和弧度是什么？

  • 角度：我们日常生活中用来描述物体转动幅度的单位，通常用度（°）来表示。一个完整的圆周是360度。
  • 弧度：在数学和物理学中，弧度是另一种测量角度的单位，它基于圆的半径和圆弧长度。一个完整的圆周是2π弧度。

• 为什么需要弧度？

  • 更自然: 在很多数学公式和物理公式中，使用弧度比使用角度更自然，可以简化计算。
  • 国际单位制: 弧度是国际单位制中认可的角度单位。

• 角度和弧度的转换

  • 弧度转角度: 角度 = 弧度 × (180°/π)
  • 角度转弧度: 弧度 = 角度 × (π/180°)