三角函数：基础知识Omega范围问题

news/2024/10/4 22:28:47

三角函数：基础知识&&Omega范围问题

说是高考热门，其实也没怎么考过（

我们知道，高中主要研究的三个三角函数的一般形式分别为:

\(A\sin(\omega x+\varphi)+h\)，
\(A\cos(\omega x+\varphi)+h\)，
\(A\tan(\omega x+\varphi)+h\)。

\(h\)由于~~作用太low啦~~作用不大，高中一般不予讨论，所以我们可以认为三角函数的一般形式就是\(Af(\omega x+\varphi),f(x)\in \{{\sin x,\cos x,\tan x}\}\)。其中考的最多的参数就是这个\(\omega\)，因为它决定了三角函数图象的“收缩程度”，导致三角函数的各项指标都跟它有关，所以都可以考（

今天，我们研究\(\omega\)对几类基础函数指标的影响及其一般出的题目。

如无特别说明，本文“一般三角函数”指的是上面的一般形式，而“标准三角函数”则是\(\sin x\)这种最简洁优美的形式。

Basic Knowledge

三角函数的性质，如果~~太难打\(\KaTeX\)~~情况太复杂，默认设\(\omega=1,\varphi=0,A=1\)。

函数	\(\sin x\)	\(\cos x\)	\(\tan x\)
定义域	\(\mathbb{R}\)	\(\mathbb{R}\)	\(\{x\|x\not= \frac{\pi}{2}+k\pi,k\in \mathbb{Z}\}\)
值域	\([-A,A]\)	\([-A,A]\)	\(\mathbb{R}\)
奇偶性	奇函数	偶函数	奇函数
周期	\(\frac{2\pi}{\omega}\)	\(\frac{2\pi}{\omega}\)	\(\frac{\pi}{\omega}\)
单调增区间	\([-\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi](k\in \mathbb{Z})\)	\([\pi+2k\pi,2\pi+2k\pi](k\in \mathbb{Z})\)	\([-\frac{\pi}{2}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi](k\in \mathbb{Z})\)
单调减区间	\([\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{3\pi}{2}+2k\pi](k\in \mathbb{Z})\)	\([0+2k\pi,\pi+2k\pi](k\in \mathbb{Z})\)	`null`
对称轴	\(\{x=\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\}\)	\(\{x=0+k\pi,k\in\mathbb{Z}\}\)	`null`
对称中心	\((0+k\pi,0),k\in \mathbb{Z}\)	\((\frac{\pi}{2}+k\pi,0),k\in\mathbb{Z}\)	\((0+\frac{k\pi}{2},0),k\in \mathbb{Z}\)

研究三角函数的一般方法：

对于中间的\(\omega x+\varphi\)，我们令\(t=\omega x+\varphi\)，这样原解析式就变成了\(f(t)=A\sin t\)，除值域与\(\tan x\)的定义域以外，其余的指标都可以直接套表了。我们接下来研究\(\omega\)的影响也基本依靠这种方法。

同角三角函数的基本关系：
1. \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\)
2. \(\frac{\sin x}{\cos x}=\tan x\)
诱导公式：奇变偶不变，符号看象限，具体如下表：

函数	\(\sin x\)	\(\cos x\)	\(\tan x\)
公式一（周期关系）	\(\sin(x+2\pi)=\sin x\)	\(\cos(x+2\pi)=\cos x\)	\(\tan(x+\pi)=\tan x\)
公式二	\(\sin(x+\pi)=-\sin x\)	\(\cos(x+\pi)=\cos x\)	\(\tan(x+\pi)=\tan x\)
公式三	\(\sin(-x)=-\sin x\)	\(\cos(-x)=\cos x\)	\(\tan(-x)=-\tan x\)
公式四	\(\sin(\pi-x)=\sin x\)	\(\cos(\pi-x)=-\cos x\)	\(\tan(\pi-x)=-\tan x\)
公式五	\(\sin(\frac{\pi}{2}-x)=\cos x\)	\(\cos(\frac{\pi}{2}-x)=\sin x\)	`null`
公式六	\(\sin(x+\frac{\pi}{2})=\cos x\)	\(\cos(x+\frac{\pi}{2})=-\sin x\)	`null`

和差角公式，二倍角公式

函数	\(\sin x\)	\(\cos x\)	\(\tan x\)
\(\alpha+\beta\)	\(\sin\alpha \cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\)	\(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\)	\(\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\)
\(\alpha-\beta\)	\(\sin\alpha\cos\beta-\sin\beta\cos\alpha\)	\(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\)	\(\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}\)
\(2\alpha\)	\(2\sin\alpha\cos\alpha\)	\(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\)	\(\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}\)

辅助角公式：\(A\sin x+B\cos x=\sqrt{A^2+B^2}\sin(x+\varphi),\tan \varphi=\frac{B}{A}\)
积化和差、和差化积：没怎么用的二级结论，不打\(\KaTeX\)了。\(\KaTeX\)好麻烦呜呜呜（

单调性

给定一个区间\((l,r)或[l,r]\)，又给定一个含三角函数的函数\(f(x)\)，并给出在这个区间上的单调性，求\(\omega\)的范围。

如果本来就是一个一般式的三角函数该多好，碰到这种情况就可以往下走了，如果不是，想想能不能用辅助角公式凑，凑不出就下一题吧。

我们想到：对于标准三角函数的单调区间，我们较为熟悉，但是带上\(\omega x+\varphi\)，很多人都搞不坨清，那就考虑换元成\(f(t)=A\sin t,t(x)=\omega x+\varphi\)，就可通过\(t\)计算区间了。

一般地，题目给定的区间一定是三角函数单调区间的子集。也就是说，给定区间的最大值点一定小于等于三角函数的最大值点，给定区间的最小值点一定大于等于三角函数的最小值点。可以获得\(\omega\)的方程或不等式。

注意本文四种问题都要注意取等问题，给定的是开区间，可能边界值\(\omega\)就可以取到，建议画图来判断。

对称性

给定一个区间\((l,r)或[l,r]\)，又给定一个含三角函数的函数\(f(x)\)，并给出在这个区间内过了多少个对称中心或对称轴，求\(\omega\)的范围。

首先还是换元成\(t\)，注意\(t\)的范围要根据\(x\)的确定下来。

然后，我们在草稿纸上画一个标准三角函数图像，将\(t\)的范围画在上面，然后挪动动的那一边（为什么？那是\(\omega\)的影响范围啊！），能动的范围一般就是

两相邻对称轴
两相邻对称中心
对称轴与相邻对称中心

通过这两个地点的坐标，我们就可以撸出个\(\omega\)的不等式（范围），结果我一看，哦，还有一个待定的\(k\)，什么\(k\)？\(2k\pi\)的\(k\)。不要慌啊，既然\(left<...\omega...<right\)，肯定有\(left<right\)，就可以把\(k\)的范围搞出来，然后题目里一般有\(\omega>0\)，根据这个确定最小的\(k\)，一般取整嘛，都可以确定的，然后回代，\(\omega\)的范围就搞定了。