在现代生成模型中，扩散模型（Diffusion Models, DM） 已经成为一种非常强大的方法。它的基本思路是通过逐步向数据中注入噪声，使得数据逐渐变为高斯噪声分布。而在生成任务中，扩散模型通过反向扩散过程，从高斯噪声中逐步去除噪声，恢复原始数据。本文将详细介绍扩散模型的去噪过程、反向转移核的定义与推导，以及模型参数的学习方法。
1. 什么是去噪过程？
扩散模型的反向过程本质上是一个去噪过程。在正向扩散过程中，数据逐步加入噪声，最终被转化为标准高斯分布。而在反向过程中，模型希望从这一完全无序的状态中，逐步去除噪声，恢复出原始的结构化数据。
这个过程类似于解码，从噪声数据开始，通过逐步迭代去噪，逐步生成越来越接近原始数据的表示。每一步都使用一个可学习的反向转移核，来估计从当前的噪声数据如何生成前一个时间步的数据。
2. 反向转移核的定义
在去噪过程中，模型的每一步都是从当前的潜变量 $x_t^{\prime}$ 生成前一时刻的潜变量 $x_{t-1}^{\prime}$。为了描述这个生成过程，扩散模型使用一个可学习的反向转移核，其定义为：
$$p_\theta(x_{t-1}'|x_t')=\mathcal{N}(x_{t-1}',\mu_\theta(x_t',t),\Sigma_\theta(x_t',t))$$
这个公式定义了一个高斯分布，其中：
- $\mu_\theta(x_t^{\prime},t)$ 是均值函数，表示当前时间步 $\text{t}$ 及潜变量 $x_t^{\prime}$ 预测出的均值，由神经网络生成。
- $\Sigma_\theta(x_t^{\prime},t)$ 是方差函数，表示模型在当前时间步生成潜变量时的不确定性，同样由神经网络生成。
这种反向转移核的定义使得模型能够在每一步通过高斯分布进行去噪操作。
3. 反向转移核的推导
为了更好地理解反向转移核，我们首先回顾正向扩散过程的转移核公式：
$$q(x_t^{\prime}|x_{t-1}^{\prime})=\mathcal{N}(x_t^{\prime};\sqrt{1-\beta_t}x_{t-1}^{\prime},\beta_t\mathbf{I})$$
在正向扩散中，每一步都是在原始数据上逐步加入噪声，导致数据逐渐变为标准高斯分布。随着时间步 $\text{t}$ 的增加，数据中的噪声比例越来越高，最终数据完全随机化。
而反向扩散过程正好相反，从最后一步 $x_{T}^{\prime}$（即完全的高斯噪声数据）开始，模型希望逐步恢复出原始的潜变量 $x_{0}^{\prime}$。因此，反向过程的每一步也可以通过高斯分布来建模，均值和方差不再是固定的，而是可学习的神经网络参数 $\theta $ 的函数。
通过引入可学习的均值 $\mu_\theta(x_t^{\prime},t)$ 和方差 $\Sigma_\theta(x_t^{\prime},t)$，反向过程可以自适应地去除噪声并生成更接近原始数据的潜变量。
3.1. 均值的学习
在正向扩散过程中，均值随着时间的推移逐渐变得更加随机化。而在反向扩散过程中，模型希望通过学习一个均值 $\mu_\theta(x_t^{\prime},t)$，使得生成的潜变量逐步恢复原始数据的结构。因此，模型在每一步都根据当前的潜变量 $x_{t}^{\prime}$ 和时间步 $\text{t}$ 来预测下一个潜变量的均值。
3.2. 方差的学习
反向扩散过程中，方差 $\Sigma_\theta(x_t^{\prime},t)$ 代表了在当前时间步中对生成数据的不确定性。在去噪的前期，模型可能会保持较高的不确定性（即较大的方差），而随着时间的推移，模型会逐步减少噪声的影响，使得生成的潜变量更加接近原始数据。
4. 模型参数的学习
反向转移核中的参数 θ\theta 是通过训练数据学习得到的。为了学习这些参数，我们需要定义一个损失函数，并通过优化该损失函数来调整模型。
4.1. 损失函数
扩散模型中的常用损失函数是变分下界（Variational Lower Bound, VLB），其定义为：
$$\mathcal{L}(\theta)=\mathbb{E}_q\left[\sum_{t=1}^TD_{\mathrm{KL}}(q(x_{t-1}'|x_t')||p_\theta(x_{t-1}'|x_t'))\right]$$
这里的 $D_{\mathrm{KL}}$ 是KL散度，用于衡量模型预测的分布 $p_\theta(x_{t-1}^{\prime}|x_t^{\prime})$ 与真实分布 $q(x_{t-1}^{\prime}|x_t^{\prime})$ 之间的差异。
通过最小化这个损失函数，模型能够调整参数 $\theta $，使得反向扩散过程中的每一步生成的潜变量 $x_{t-1}^{\prime}$ 更加接近真实的分布。
4.2. 重参数化技巧
在训练过程中，为了简化梯度的计算，通常使用重参数化技巧。通过将噪声从优化目标中分离出来，重参数化技巧使得训练更加稳定。
具体来说，生成的潜变量 $x_{t-1}^{\prime}$ 可以表示为：
$$x'_{t-1}=\mu_\theta(x'_t,t)+\Sigma_\theta(x'_t,t)\cdot\epsilon $$
其中，$\epsilon\sim\mathcal{N}(0,\mathbf{I})$ 是标准高斯噪声。通过这种方式，模型能够在去噪的过程中生成可微的潜变量，从而方便进行反向传播和参数更新。
5. 总结
在扩散模型中，去噪过程是通过逐步减少噪声，逐渐恢复出原始数据的一个重要步骤。反向扩散过程中的每一步都通过一个可学习的反向转移核来实现，该转移核由高斯分布建模，其均值和方差都由神经网络参数化。
反向转移核的定义为：
$$p_\theta(x_{t-1}'|x_t')=\mathcal{N}(x_{t-1}';\mu_\theta(x_t',t),\Sigma_\theta(x_t',t))$$
通过优化损失函数（如变分下界）并结合重参数化技巧，模型能够有效学习这些参数，从而实现从噪声中生成数据的能力。
扩散模型中的去噪过程展示了一种强大的生成模型方法，能够在多种生成任务中实现高质量的结果。通过神经网络对均值和方差的自适应学习，模型能够逐步恢复出原始数据，具有高度的生成能力。
