第一章:Borel测度

news/2024/10/1 16:02:26

第1章 Borel测度

在正式讨论我们的内容之前我们先做几点说明

1.我们只讨论$\mathbb{R}^n$ 上的测度，因此如果不作特别说明，我们均认为测度和集合为于$\mathbb{R}^n$ 中：

2.我们不特别区分外测度和测度，因为将外测度限制在可测集上就是可测集上的测度：

3.我们默认读者已经了解了$\mathbb{R}^{n}$ 中一般外测度的构造和一般测度积分的定义，包括几个极限定理(Levi单调收敛/Fatou引理/Lebesgue控制收敛定理）

1.1 测度论回顾

1.1.1 测度

我们用$\mathcal{P}(\mathbb{R}^n)$ 表示$\mathbb{I}\mathbb{R}^n$ 的所有子集构成的集合，

定义1.1.1(外测度). 称映射$:\mu:\mathcal{P}(\mathbb{R}^{n})\to[0,\infty]$ 为外测度，如果：

$\mu(\varnothing)=0$

\[E\subset\bigcup_{h\in\mathbb{N}}E_{h}\Rightarrow\mu(E)\leq\sum_{h\in\mathbb{N}}\mu(E_{h}). \]

显然，由外测度的次可加性可以得到单调性，即对任意的$E\subset F$, 有

\[\mu(E)\leq\mu(F). \]

正如$\mathbb{R}^n$ 中，我们可以定义可测集，将外测度限制在可测集上就得到了测度.

定义1.1.2(可测集）. 称$E\subset\mathbb{R}^n$ 是一$\mu$ 可测集是指：

\[\mu(F)=\mu(F\cap E)+\mu(F\setminus E),\forall F\subset\mathbb{R}^n. \quad (1.1) \]

定义1.1.3( $\sigma$ 代数). 设$X$ 是一非空集合，称$\mathcal{A}\subset2^X$ 的一个$\sigma$ 代数是指：

$\varnothing,X\in\mathcal{A}$
$A\in\mathcal{A}\Rightarrow X-A\in\mathcal{A}$
$A_{k}\in\mathcal{A}\Rightarrow\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}\in\mathcal{A}$

如果$C\in2^X$ ，我们用$\sigma(C)$ 表示包含$C$ 的最小的$\sigma$ 代数，或者称为由$C$ 生成的$\sigma$ 代数

Caratheodory定理告诉我们，对于一外测度而言，所有可测集构成一$\sigma$ 代数，将$\mu$ 限制在$\sigma$ 代数上就得到了测度

定理1.1.4(Caratheodory定理）.设$\mu$ 是$\mathbb{R}^n$ 上的一外测度，则可测集构成的全体$\mathcal{M}(\mu)$ 是一$\sigma$ 代数，并且对$\mathcal{M}(\mu)$ 中的互不相交的集合$\{A_k\}$ 有

\[\mu\left(\sum_{k\in\mathbb{N}}A_k\right)=\sum_{k\in\mathbb{N}}\mu(A_k). \quad (1.2) \]

1.1.2 积分

类似Lebesgue测度，我们也可以先定义简单$\mu$ -可测函数的积分，然后通过逼近的手段定义一般$\mu$ -可测函数的极限，在此我们省略该过程，只列出一些对一般的测度依然成立的结论

定理1.1.5（非负可测函数的分解）. 设$f:X\to[0,\infty]$ 是$\mu$ 可测函数，则存在$X$ 中的一族$\mu$ 可测集$\{A_k\}_{k\geq1}$ 使得：

\[f=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\chi_{A_{k}}}{k}. \]

定理1.1.6(Egrof定理). 设$\mu$ 是$IF_{\mathrm{L}}^{n}$ 上一测度，假设$f_k:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m,k=1,\cdots$ 是$\mu$ 可测函数，假设$A\subset\mathbb{R}^n$ 也是$\mu$ 可测集，并且$\mu(A)<\infty$ ，且：

\[f_k\to f\quad\mu\text{-a.e. on }A. \]

则对任意给定的$\varepsilon>0$ ，存在一$\mu$ 可测集$B\subset A$ 使得：

$\mu(A-B)<\varepsilon$ 2. $f_k$ 在$B$ 上一致收敛于$f$

这里需要给出一些说明：

$\mu(A)<\infty$ 的条件不可省略（回忆在欧氏空间的定理叙述） ·该结论不需要对$\mu$ 提任何正则性的要求，这是与Lusin定理等不同的地方

下边给出一些常用的记号：称$\mu$ 可测函数$u$ 是局部可积函数，如果对任意的紧集$K$ 都有：

\[\int_K|u|\:\mathrm{d}\mu(x)<\infty, \]

并记为$u\in L_{loc}^{1}(\mathbb{R}^{n},\mu)$

如果

\[\int_{\mathbb{R}^n}|u|\:\mathrm{d}\mu(x)<\infty, \]

则记$u\in L^{1}(\mathbb{R}^{n},\mu)$ .

类似可定义$L_{lo\mathrm{c}}^{p}(\mathbb{R}^{n},\mu)$ 和LP(R, ) $L^p(\mathbb{R}^n,\mu)$ $L^p(\mathbb{R}^n,\mu),1\leq p\leq+\infty.$

对Lebesgue测度成立的三大定理，对$\mathbb{R}^n$ 上一般的测度也是成立的，

定理1.1.7 (单调渐升定理)． 如果$\{u_h\}_{h\in\mathbb{N}}$ 是一列非负$\mu$ 可测函数，并且$u_h$ $\leq$ $u_{h+ 1}, \mu$ a. e. $x\in \mathbb{R} ^n$ ，则：

\[\lim\limits_{h\to\infty}\int\limits_{\mathbb{R}^n}u_h\:\mathrm{d}\mu(x)=\int\limits_{\mathbb{R}^n}\sup\limits_{h\in\mathbb{N}}u_h\:\mathrm{d}\mu(x). \]

如果$u_h\geq u_{h+1},\mu$-a.e.$x\in\mathbb{R}^n$ ，并且$u_1\in L^1(\mathbb{R}^n,\mu)$ ，则

\[\lim\limits_{h\to\infty}\int\limits_{\mathbb{R}^n}u_h\:\mathrm{d}\mu(x)=\int\limits_{\mathbb{R}^n}\inf\limits_{h\in\mathbb{N}}u_h\:\mathrm{d}\mu(x). \]

定理1.1.8(Fatou引理）. 如果$\{u_h\}_{h\in\mathbb{N}}$ 是一列非负$\mu$ -可测函数，则：

\[\int_{\mathbb{R}^{n}}\operatorname*{lim}_{h\to\infty}\inf u_{h}\:\mathrm{d}\mu(x)\leq\operatorname*{lim}_{h\to\infty}\inf_{\mathbb{R}^{n}}\int_{\mathbb{R}^{n}}u_{h}\:\mathrm{d}\mu(x). \]

定理1.1.9(控制收敛定理). 如果$\{u_h\}_{h\in\mathbb{N}}$ 是一列$\mu$ 可测函数，并且逐点收敛到u，并且存在$\nu\in L^{1}(\mathbb{R}^{n},\mu)$ 使得$|u_h|\leq\nu,\mu$-a.e.$x\in\mathbb{R}^n$ ，则

\[\int_{\mathbb{R}^n}u\:\mathrm{d}\mu(x)=\lim_{h\to\infty}u_h\:\mathrm{d}\mu(x). \]

最后我们来回忆一下Fubini定理，首先我们先来回顾乘积测度，设$\mu,\nu$ 分别是$\mathbb{R}^{n}$ 和$\mathbb{R}^{m}$ 上的外测度，我们定义$\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^m$ 上的乘积测度$\mu\times\nu$ 为

\[(\mu\times\nu)(G):=\inf_{\mathcal{F}}\sum_{E\times F\in\mathcal{F}}\mu(E)\cdot\nu(F). \]

其中$\mathcal{F}$ 是$G$ 的一族开覆盖，并且$\mathcal{F}$ 中的元素都是$E\times F,E\subset\mathbb{R}^n,F\subset\mathbb{R}^m$ 的形式.我们引入下边切片的记号：

\[G_x=\{y\in\mathbb{R}^m,(x,y)\in G\}. \]

我们陈述下边的Fubini定理

定理1.1.10（Fubini定理）.
设$\mu,\nu$ 分别是$\mathbb{R}^{n}$ 和$\mathbb{R}^m$ 上的外测度

1.如果$E\in\mathcal{M}(\mu),F\in\mathcal{F}(\mu)$ ，则$E\times F\in\mathcal{M}(\mu\times\nu)$ ，并且还有：

\[\mu\times\nu(E\times F)=\mu(E)\nu(F). \]

2.如果$G\in\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^m$ 相对$\mu\times\nu$ 是$\sigma$ 有限的，则$G_{x}\in\mathcal{M}(\nu),\mu$ -a.e. $x\in\mathbb{R}^n$ ，并且：$x\in\mathbb{R}^n\mapsto\nu(G_x)$ 是$\mu$ 可测的

\[(\mu\times\nu)(G)=\int_{\mathbb{R}^n}\nu(G_x)\:\mathrm{d}\mu(x). \]

3.如果$L^1\left(\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^m,\mu\times\nu\right)$ ，则：

\[\begin{aligned} x\in\mathbb{R}^{n}\mapsto\int_{\mathbb{R}^{m}}u(x,y)\mathrm{d}\nu(y)\in L^{1}(\mathbb{R}^{n},\mu) \\ \int_{\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{m}}u\:\mathrm{d}(\mu\times\nu)=\int_{\mathbb{R}^{n}}\:\mathrm{d}\mu(x)\int_{\mathbb{R}^{m}}u(x,y)\:\mathrm{d}\nu(y). \end{aligned}\]

在本节的最后我们用Fubini定理给出一个非常有用的公式

推论1.1.11(Layer-Cake公式).
设$u\in L^p(\mathbb{R}n,\mu),p\in[1,\infty),u\geq 0 $ ，

记$\{u > t\}: = \{x:u(x) > t\}$ ，则：

\[\int_{\mathbb{R}^n}|u|^p\:\mathrm{d}\mu=p\int_0^\infty t^{p-1}\mu(\{|u| > t\})\mathrm{d}t. \quad (1.3) \]

证明.我们考虑函数$f(x,t)=pt^{p-1}\:\mathbb{l}_{(0,u(x))}(t)$ 以及测度$\mu\times\mathcal{L}$ ，使用Fubini定理就得到了：

\[RHS\:=\:\int_{\mathbb{R}^{n}}\int_{0}^{\infty}f(x,t)\:\mathrm{d}\mu\:\mathrm{d}t=\int_{\mathbb{R}^{n}}\int_{0}^{u(x)}pt^{p-1}\:\mathrm{d}t\:\mathrm{d}\mu=LHS\:. \]

1.2 Borel测度

我们用$\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$ 表示$\mathbb{R}^n$ 全体开集生成的$\sigma$ 代数

1.2.1 Borel测度的结构

定义1.2.1(Borel测度).设$(\mathbb{R}^n,\mu,\mathcal{M})$ 是一测度空间，称$\mu$ 是一Borel测度是指$,\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})\subset$ M.

对于Borel测度而言，Borel集上的测度是由那些立方体所决定的.我们采用一种“代数”形式的证明方法来说明这一点

定义1.2.2 $\pi$ 类） 称$\mathcal{P}\subset2^X$ 是$\pi$ 类，如果：

\[A,B\in\mathcal{P}\Rightarrow A\cap B\in\mathcal{P}. \]

定义1.2.3( $\lambda$ 类). 称${\mathcal{L}}\subset2^X$ 是$\lambda$ 类，如果：

$X\in\mathcal{L}$
$A,B\in\mathcal{L}$ 且$B\subset A\Rightarrow A-B\in\mathcal{L}$
如果$A_k\in\mathcal{L}$ 并且$A_k\subset A_{k+1}$ 则$\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k\in\mathcal{L}.$

定理1.2.4 $(\pi-\lambda$ 定理）. 设$P$ 是$\pi$ 类$,\mathcal{L}$ 是$\lambda$ 类，且$P\subset\mathcal{L}$ ，则

\[\sigma(\mathcal{P})\subseteq\mathcal{L} \]

证明.1.定义

\[S:=\bigcap_{\mathcal{L}^{\prime}\supseteq\mathcal{P}}\mathcal{L}^{\prime} \]

其中$\mathcal{L}^{\prime}$ 是包含$P$ 的$\lambda$ 类.可以直接验证$S$ 也是一个$\lambda$ 类

2.我们证明$S$ 是一个$\pi$ 类.即如果$A,B\in S$ ，那么$A\cap B\in S.$ 定义

\[\mathcal{A}:=\{C\subseteq X\mid A\cap C\in S\}. \]

由于$S$ 是$\lambda$ 类，故$\mathcal{A}$ 也是$\lambda$ 类，故$S\subset\mathcal{A}.$ 因此如果$B\in S$ ，那么$B\in\mathcal{A}\Rightarrow A\cap B\in\mathcal{S}$

3.我们证明$S$ 是一个$\sigma$ 代数.由于$\varnothing\in S$ 因此$\varnothing=X-X\in S.$ 因此$A\in\mathcal{S}\Rightarrow X-A\in$ $S$ ，故$S$ 对补运算是封闭的.再假设$A_k\in S$ ，令$Bn=\bigcup_{k=1}^n Ak$，由于$S$ 是一$\pi$ 类，因此对有限交运算封闭$,S$ 是$\lambda$ 类故对补运算封闭，从而得到对有限并运算封闭，故$B_n\in S$ ，而$B_n$ 是一列递增的集合，故$\lim Bn\in S$，故$S$ 对任意并封闭，因此$S$ 是一个$\sigma$ 代数

4.因为$\mathcal{P}\subset S$ ，故

\[\sigma(\mathcal{P})\subseteq S\subseteq\mathcal{L}. \]

利用上边的定理，我们就可以看出对于一个有限Borel测度，其在Bore集上的值完全由其在长方体上的测度决定，

定理1.2.5. 设$\mu,\nu$ 是两个(有限)Borel测度，并且对任意的平行于坐标轴的立方体

\[R=\{x\in\mathbb{R}^{n}|-\infty\leq a_{i}\leq x_{i}\leq b_{i}\leq\infty,i=1,\cdots,n\} \]

有$\mu(R)=\nu(R)$ ，则对任意的$B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$ ，都有：

\[\mu(B)=\nu(B). \]

证明.1.我们${\mathcal P}=\{R\in\mathbb{R}^{n}|R$ 是上述定义的方体),则$P$ 是$\pi$ 类

2.令

\[\mathcal{L}:=\left\{B\subseteq\mathbb{R}^{n}\mid B\:\mathrm{is}\:\mathrm{Borel},\:\mu(B)=\nu(B)\right\}. \]

则$L$ 是$\lambda$ 类

3.根据$\pi-\lambda$ 定理，就得到了$\sigma(\mathcal{P})=\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})\subset\mathcal{L}.$ 于是定理得证

1.2.2 Borel测度的判定

下边我们给出判断一个测度是否为Borel测度的准则

定理1.2.6(Caratheodory准则). 设$\mu$ 是一外测度，则$\mu$ 是Borel测度$\Longleftrightarrow$

\[\mu\left(E_{1}\cup E_{2}\right)=\mu\left(E_{1}\right)+\mu\left(E_{2}\right),E_{1},E_{2}\subset\mathbb{R}^{n},\mathrm{dist}(E_{1},E_{2})>0. \quad (1.4) \]

证明.

1.设$\mu$ 是一Borel集，因此$\bar{E}_1$ 是Borel集.取$E_1\cup E_2$ 作试验函数，于是如果$d(E_{1},E_{2})>0$ ，则$E_{2}\cap\bar{E}_{1}=\varnothing$ ，因此有

\[\mu\left(E_{1}\cup E_{2}\right)=\mu\left(\left(E_{1}\cup E_{2}\right)\cap\overline{E_{1}}\right)+\mu\left(\left(E_{1}\cup E_{2}\right)\backslash\overline{E_{1}}\right)=\mu\left(E_{1}\right)+\mu\left(E_{2}\right). \]

2.反之如果(1.4)成立.那么要证明对于任意的闭集$E$ ，他都是可测集，即证明对于任意的$F\subset\mathbb{R}^{n}$ ，都有

\[\mu(F)\geq\mu(E\cap F)+\mu(F\backslash E),\mu(F)<\infty \]

为此我们定义

\[E_h=\left\{x\in F:\frac{1}{h+1}\leq\mathrm{dist}(x,E)<\frac{1}{h}\right\},\quad E_0=\{x\in F:\mathrm{dist}(x,E)\geq1\},h\in\mathbb{N},h\geq1 \]

则

\[\mu(F\cap E)+\mu(F\backslash E)\leq\mu(F\cap E)+\mu \]

参考文献

F. Maggi. Sets of Finite Perimeter and Geometric Variational Problems: An Introduction to Geometric Measure Theory. 2012.

L. C. Evans and R. F. Gariepy. Measure Theory and Fine Properties of Functions, Revised Edition.

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