微积分快速入门5部分：基本算术、规律及花式算术

12 微积分的基本算术

12.1 加法

12.2 乘法

12.3 简单除法（倒数）

• 你们原来的份额是 1/x(当 x=2 时，你有 1/2）。
• 有人进来
• 你的新份额变成1/(x+1)

你的蛋糕数量是如何变化的？

在求出总变化（及其恼人的代数）后，我们除以 dx，就得到了 “每 dx ”的变化：

现在，我们去掉剩余的 dx，也就是测量的假象：

13 规律

我们已经揭示了微积分的前几条规则：

与其匆匆研究更多的规则，不如退一步。这里有什么规律吗？

13.1 结合视角

想象一下，一个企业的各个部门之间相互影响，或者一台机器的各个部件之间相互关联。当我们做出改变时会发生什么？每个部分都可能受到影响。

如果我们的企业有 4 个部门，而我们要做出政策改变，那么就有 4 个视角需要考虑。写出来听起来很简单：每当发生变化时，看看每个部分会发生什么变化！

无论 F 部分和 G 部分之间的具体互动如何（加法、减法、乘法、指数......），我们只需考虑两个角度：

• 在加法中，每个部分都会增加一个直接变化 (df + dg)
• 乘法时，每个部分都认为自己会增加一个矩形条 (fdg + gdf)

我们再进一步想：那么a*b+c的导数呢？应该加上三个角度：da、db、dc。

13.2 维度直觉

微积分只关心量，而不关心它们的维度。方程很乐意连接x和x^2，尽管我们知道长度和面积不能混用。单位增加了等式之外的意义，有助于保持事物的条理性，并在出错时向我们发出警告（如果你微分了面积却得到了体积，你就知道出错了）。

13.3 用尺寸思考

您可以在不研究具体公式的情况下思考导数的维度。想象一下下面的情景：

• 用一根绳子紧紧缠绕 25 美分硬币。再拿一根绳子紧紧绕住地球。
• 把两根绳子都拉长，在末端再加长一些，这样四分之一周围就会有 1 英寸的空隙，地球周围也会有 1 英寸的空隙（就像土星周围漂浮着一个环）。
• 小测验： 哪种情况需要更多的绳子？是在硬币周围放 1 英寸的间隙需要更多的绳子，还是在地球周围放 1 英寸的间隙需要更多的绳子？
  我们可以通过公式来计算，但要从更高层次来思考。因为圆周率是一条 1-d 的线，它对变化的反应（导数）将是一个常数。无论当前大小如何，每次推动圆周率的变化量都是相同的。因此，两者所需的额外绳子是一样的！(半径每增加一英寸大约需要 6.28 英寸）。

现在，假设我们是在球体上涂画，而不是在它周围放一根绳子。啊，好吧，面积是平方的，因此导数要低一维（线性）。如果我们有一个 5 英寸和 10 英寸的球体，并把它们分别做大 1 英寸，那么大的球体需要多涂一倍的颜料。

参考资料

• 软件测试精品书籍文档下载持续更新 https://github.com/china-testing/python-testing-examples 请点赞，谢谢！
• 本文涉及的python测试开发库 谢谢点赞！ https://github.com/china-testing/python_cn_resouce
• python精品书籍下载 https://github.com/china-testing/python_cn_resouce/blob/main/python_good_books.md
• Linux精品书籍下载 https://www.cnblogs.com/testing-/p/17438558.html

14 微积分的花式算术

这是我们目前掌握的规则：

14.1 幂法则

我们已经计算出

过程类似。我们可以在两边各粘一块板，以扩大立方体。缺失的沟槽 "代表人工制品，我们的新板块会在这里相互影响。

我必须不断提醒自己：凹槽并不真实！它们代表的是在这一步没有发生的生长。生长完成后，我们将立方体 “融化 ”到新的总面积中，然后再次生长。计算凹槽会高估这一步的增长。(现在，如果我们被迫采取整数大小的步骤，那么就需要沟槽了--但如果是无限可分的小数，我们就可以顺利地改变）。

从图中，我们可以猜到：

没错！但我们必须把结果形象化。代数等抽象概念可以让我们处理我们无法直观看到的情况，比如十维形状。几何图形是一个很好的、可视化的起点，但我们需要超越它。

我们可以像这样用代数开始分析一个立方体：

呀。项数越来越多了，快吓死人了。如果我们想要 10 次幂呢？当然，代数有捷径，但我们还是要从整体上考虑问题。

我们的立方体有三个部分：边。将它们分别称为 a、b 和 c，以保持直观。直观地说，我们知道总变化来自每个面：

每个面认为自己带来了什么变化？

• a 认为我的变化 (da) 与其他不动的双方得到dabc
• b 认为我的变化 (db) 与其他不动的双方得到dbac
• c 认为我的变化 (dc) 与其他不动的双方得到dcba

将其转换为 “每 dx ”的比率，我们就得到了：

很好！现在，死记硬背的策略就是 “把指数往下拉，然后减一”。这不是学习！

这样想：

• x^3 有 3 个相同的视角。
• 当系统发生变化时，所有 3 个视角的贡献都是相同的。因此，导数将是3*something
• something是一边的变化乘以其余两边,指数降低了1。

14.2 幂的积分

让我们试着进行幂的积分，将一组变化逆推到原始模式中。

想象一下建筑工地。第一天，他们订购了三块 11 块木板。第二天，他们订购了三块 22 块木板。然后是三块 33 块木板。然后是三块 44 块木板。他们在造什么？

我猜是一个立方体。他们正在一层一层地建造一个外壳，也许还在排水沟之间涂上了灌浆，把它们粘在一起。

同样，如果我们看到一系列变化，比如3x^2这样的一系列变化，我们就能想象出这些板块正在组装成一个立方体：

好了--我们从前面的结果开始往回推。但是，普通的x^2? 好吧，试想一下，输入的变化被分成三份：

啊！现在我们有 3 块板（每块是原来的 1/3），我们可以积分出一个更小的立方体。想象一下，“流入的材料 ”被分成三堆来堆砌正方体：

如果我们有 3 堆大小为 x^2，我们就能做出一个完整的立方体。否则，我们就能做出一个迷你立方体，只有它的 1/3 大。

一般的整合规则是

经过一段时间的练习，你就会自动完成除法。但现在你知道为什么需要这样做了：我们必须把进入的 “变化材料 ”分成几个面。(建一个正方形？在两个面之间分担变化。拼立方体？分给 3 个面。建一个四维超立方体？给我打电话）。

14.3 商法则

我们已经看到了逆的导数（“简单除法”）：

还记得蛋糕的比喻吗？我们把现有的蛋糕1/x切成x片，然后送出一片。

现在，我们如何求出 f/g的导数? 系统中的一个部分试图让我们成长，而另一个部分则把我们分割开来。哪个赢了？

在求x^3的导数时，我们把它想象成abc，这有助于简化互动。我们需要考虑的只是3个不同的视角，而不是 x 的乘法运算。

同样，我们可以将 f/g作为两个视角：

我们知道a=f和b=1/g. 从这个放大的视角看，它就像一个普通的、矩形的、产品规则的方案：