正三棱台

前情概要

正三棱台的概念，表面积，体积公式，引申

动态演示

结合上图，你能说出正三棱台的各部分的名称吗？你能自行画出正三棱台的图形吗？

典例剖析

【2025届高三质检一试题】已知正三棱台 \(ABC-A_1B_1C_1\) 的上底面积为 \(\sqrt{3}\)，下底面积为 \(4\sqrt{3}\)，高为 \(2\)，则该三棱台的表面积为 【\(\qquad\)】

$A.5\sqrt{3}+3\sqrt{39}$ $B.3\sqrt{39}$ $C.5\sqrt{3}+18$ $D.18$

解：正三棱台的上下底面为正三角形，由正三角形的面积公式 \(S_{正\triangle}=\cfrac{\sqrt{3}}{4}a^2\)，其中 \(a\) 为正三角形的边长，则由 \(\cfrac{\sqrt{3}}{4}a^2=\sqrt{3}\) 或 \(\cfrac{\sqrt{3}}{4}a^2=4\sqrt{3}\) ，可得上下底的边长分别为 \(2\) 和 \(4\)，即 \(BC=2\)，\(B_1C_1=4\)，设上下底面的中心分别为点 \(O\) 和 \(O_1\)，则 \(AD\) 和 \(A_1D_1\) 分别是上下底三角形的高线，连结 \(DD_1\)，则 \(DD_1\) 是正三棱台的斜高，过点 \(D\) 作 \(DE\perp A_1D_1\) 于点 \(E\)，则 \(D_1E\) 是斜高 \(DD_1\) 的投影；

由三角形的知识可知，\(OD=\cfrac{1}{3}AD\)\(=\)\(\cfrac{\sqrt{3}}{3}\)，\(O_1D_1\)\(=\)\(\cfrac{1}{3}A_1D_1\)\(=\)\(\cfrac{1}{3}\times2\sqrt{3}\)\(=\)\(\cfrac{2\sqrt{3}}{3}\)，则 \(D_1E=\cfrac{\sqrt{3}}{3}\)，在 \(Rt\triangle DD_1E\) 中，由勾股定理可知 \(DD_1=\cfrac{\sqrt{39}}{3}\)，

又正三棱台的侧面为等腰梯形， \(S_{BCC_1B_1}=\cfrac{(2+4)\times\frac{\sqrt{39}}{3}}{2}=\sqrt{39}\)，

故该三棱台的表面积为 \(S=\sqrt{3}+4\sqrt{3}+3\times\sqrt{39}=5\sqrt{3}+3\sqrt{39}\)，故选 \(A\) .