题目描述
有 \(n\) 桶水，第 \(i\) 桶水的体积是 \(c_i\)。水桶的容量无限。可以进行不超过 \(LIM\) 次操作，每次选择 \(i\neq j ,c_i\geq c_j\)，使 \(c_i', c_j'\gets c_i-c_j, 2c_j\)。请将至少 \(n-2\) 桶水倒空。输出方案。
QOJ1963：\(n=3, LIM=1000, c_i\leq 10^9\)。
BC2401B：\(n\leq 3\times 10^5, c_i\leq 10^{10}, LIM=8.5\times 10^5\)。
solution n=3
不妨设 \(c_1<c_2<c_3\)。我们提出以下算法，倒出一桶 \(c_2\bmod c_1\) 的水：首先令 \(k=\left\lfloor c_2/c_1\right\rfloor\)。
你观察，如果 \(c_1\) 一直都是较小的数，那么 \(c_1\) 会一直倍增。我们进行 \(1+\log_2 k\) 次操作，第 \(j\) 次操作中，如果 \(k\) 的二进制第 \(j-1\) 位为 \(1\)，则 \(c_2\) 往 \(c_1\) 倒；否则 \(c_3\) 往 \(c_1\) 倒。这样感性理解发现操作是合法的，且最后 \(c_2\) 会变为 \(c_2-kc_1\)，达到目的。
我们观察最小值，从 \(c_1\) 变成了 \(c_2\bmod c_1\)，它确实变小了，变成了 \(c_2\) 的一半，但不一定是 \(c_1\) 的一半。
我们提出以下算法，倒出一桶 \(c_1-(c_2\bmod c_1)\) 即 \((k+1)c_1-c_2\) 的水：将刚才的 \(k\) 改成 \(k+1\)，在最后一次操作中会变成 \(2^lc_1, c_2-(k+1-2^l)c_1, c_3-?c_1\)（\(l\) 是 \(k+1\) 的最高位）。这时候显然有 \(2^lc_1\geq c_2-(k+1-2^l)c_1\)，左边往右边倒水，左边就变成 \((k+1)c_1-c_2\)。
既然可以使最小值从 \(c_1\) 变为 \(c_2\bmod c_1\) 或者 \(c_1-(c_2\bmod c_1)\)，此两者必有其一能折半，于是可以 \(O(\log^2c_i)\) 解决原问题。
solution n<=3e5（黄队做法）
将序列从小到大排序，如果相邻两项的商比较小，小到 \(1+\epsilon\)，那么对相邻两项倒一次水，会使得其中一项变的比较小，方便后续的处理。根据黄队所说，取 \(\epsilon=0.6\)，对整个序列跑 \(50\) 次，有很不错的效果。
solution n<=3e5（题解）
从小到大枚举 \(\text{lowbit}(c_i)\)，将所有这样的 \(c_i\) 放在一起。这时候，随意抽取两个 \(c_i\)，对他们倒水，显然小的那桶水 \(\text{lowbit}\) 乘 \(2\)，另一桶 \(\text{lowbit}\) 至少乘 \(2\)（甚至可能会起飞）。我们搞一个 Trie 树，从低位到高位插入这些 \(c_i\)，然后在上面 dfs，从下到上进行合并，尽可能使它的 \(\text{lowbit}\) 飞的更远。这样就能把所有水桶倒到只剩 \(O(\log nc_i)\) 桶 \(\text{lowbit}\) 互不相同的水，再逐对跑 \(n=3\) 的算法就是 \(O(\log^3nc_i)\)。
对前一部分的次数分析：定义势能为 \(U=\sum_i\log_2nm/\text{lowbit}(c_i)\)（\(m\) 为 \(c_i\) 最大值，函数记为 \(lb(c_i)\) 并定义 \(lb(0)=0\)）。初始时势能最大为 \(O(n\log nm)\)。合并两桶水的时候，势能减少 \(O(dep)\) 意思是和他们在 Trie 树上的深度成线性。为分析次数的级别， 不妨假设所有的 \(dep=x\)，则最多有 \(2^x\) 个点，次数为 \(\frac{n\log nm}{x}\)，\(x\) 只能取 \(\log n\)，分析出来 \(O(n\log(nm)/\log(n))\approx O(n)\) 的次数（好草率的分析啊。。。但是没办法，根本不可能有数据卡满）。
code
黄队做法实现
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#ifdef LOCAL
#define debug(...) fprintf(stderr, ##__VA_ARGS__)
#else
#define endl "\n"
#define debug(...) void(0)
#endif
using LL = long long;
mt19937 rng{random_device{}()};
struct node {LL x;int id;operator LL() const { return x; }
};
vector<pair<int, int>> ans;
void perf(node& lhs, node& rhs) {if (lhs < rhs) swap(lhs, rhs);assert(lhs.id != rhs.id);lhs.x -= rhs.x, rhs.x <<= 1;ans.emplace_back(lhs.id, rhs.id);if (ans.size() >= (int)8.5e5) exit(0);
}
void printans() {cout << ans.size() << endl;for (auto&& e : ans) cout << e.first << " " << e.second << endl;
}
int n;
LL m;
void solve(vector<node> vec) {shuffle(vec.begin(), vec.end(), rng);auto choice = [&]() {swap(vec[rng() % vec.size()], vec.back());auto ret = vec.back();vec.pop_back();return ret;};while (vec.size() > 2) {vector<node> tmp{choice(), choice(), choice()};auto &a = tmp[0], &b = tmp[1], &c = tmp[2];while (a && b && c) {sort(tmp.begin(), tmp.end());if (b == c) {perf(b, c);} else if (a) {auto k = b / a + (b % a > a / 2);for (LL j = 1; j <= k; j <<= 1) perf(j & k ? b : c, a);}}for (auto e : {a, b, c}) if (e) vec.push_back(e);}
}
node a[300010];
int main() {
#ifndef LOCAL
#ifndef NFfreopen("ball.in", "r", stdin);freopen("ball.out", "w", stdout);
#endifcin.tie(nullptr)->sync_with_stdio(false);
#endifatexit(printans);cin >> n >> m;for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i].x, a[i].id = i;for (int t = 1; t <= 200; t++) {sort(a + 1, a + n + 1);for (int i = 1; i < n; i++) if (a[i] && (double)a[i + 1] / a[i] < 1.6) perf(a[i + 1], a[i]);}solve(vector<node>(a + 1, a + n + 1));return 0;
}题解做法实现
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#ifdef LOCAL
#define debug(...) fprintf(stderr, ##__VA_ARGS__)
#else
#define endl "\n"
#define debug(...) void(0)
#endif
using LL = long long;
mt19937 rng{random_device{}()};
struct node {LL x;int id;operator LL() const { return x; }
};
vector<pair<int, int>> ans;
void perf(node& lhs, node& rhs) {if (lhs < rhs) swap(lhs, rhs);assert(lhs.id != rhs.id);lhs.x -= rhs.x, rhs.x <<= 1;ans.emplace_back(lhs.id, rhs.id);if (ans.size() >= (int)8.5e5) exit(0);
}
void printans() {cout << ans.size() << endl;for (auto&& e : ans) cout << e.first << " " << e.second << endl;
}
int n;
LL m;
void solve(vector<node> vec) {shuffle(vec.begin(), vec.end(), rng);auto choice = [&]() {swap(vec[rng() % vec.size()], vec.back());auto ret = vec.back();vec.pop_back();return ret;};while (vec.size() > 2) {vector<node> tmp{choice(), choice(), choice()};auto &a = tmp[0], &b = tmp[1], &c = tmp[2];while (a && b && c) {sort(tmp.begin(), tmp.end());if (b == c) {perf(b, c);} else if (a) {auto k = b / a;for (LL j = 1; j <= k; j <<= 1) perf(j & k ? b : c, a);}}for (auto e : {a, b, c}) if (e) vec.push_back(e);}
}
node a[300010];
int main() {
#ifndef LOCAL
#ifndef NFfreopen("ball.in", "r", stdin);freopen("ball.out", "w", stdout);
#endifcin.tie(nullptr)->sync_with_stdio(false);
#endifatexit(printans);cin >> n >> m;for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i].x, a[i].id = i;for (int t = 1; t <= 200; t++) {sort(a + 1, a + n + 1);for (int i = 1; i < n; i++) if (a[i] && (double)a[i + 1] / a[i] < 1.6) perf(a[i + 1], a[i]);}solve(vector<node>(a + 1, a + n + 1));return 0;
}
