设 \(Y\) 有一个连续分布函数 \(F\)。对于任意的 \(\eta\),证明 \(X = |Y - \eta|\) 的分布为:
因此,给出 \(F\) 的绝对中位数偏差的定义,用 \(F^{-1}\) 和 \(G^{-1}\) 来表示。如果 \(Y\) 的密度关于原点对称,证明:
从而找出拉普拉斯密度(2.5)的绝对中位数偏差。
设 \(X_1, \ldots, X_n\) 和 \(Y_1, \ldots, Y_n\) 是来自指数密度函数
和
的独立随机样本,其中 \(\lambda > 0\)。
如果 \(\overline{X}\) 和 \(\overline{Y}\) 是样本平均值,证明当 \(n \rightarrow \infty\) 时,
设 \(R\) 是一个二项式变量,概率为 \(\pi\),分母为 \(m\);
其均值和方差分别为
和
\(R\) 的经验逻辑变换为
证明对于大的 \(m\),
求
的确切值。实践中 \(\frac{1}{2}\) 是否必要?
证明一个二项式随机变量 \(R\),其分母为 \(m\),概率为 \(\pi\),具有累积生成函数
找出当 \(m\rightarrow\infty\) 且 \(\pi\to0\) 时,使得 \(m\pi\to\lambda>0\) 的 \(K(t)\) 的极限。
证明
从而建立 \(R\) 在分布上收敛到泊松随机变量。这产生了二项分布的泊松近似,有时称为小数定律。在 \(\mathrm{S}\) 语言中进行数值检查,尝试
y <- 0:10; lambda <- 1; m <- 10; p <- lambda/m
round(cbind(y, pbinom(y, size=m, prob=p), ppois(y, lambda)), digits=3)
使用不同的 \(m\) 和 \(\lambda\) 值。
设 \(Y_1, \ldots, Y_n\) 是来自均值为 \(\mu\) 和方差为 \(\sigma^2\) 的分布的随机样本。求
的均值,并通过将 \(Y_{j}-Y_{k} = Y_{j}-\overline{Y}-\left(Y_{k}-\overline{Y}\right)\) 展开,证明 \(T = S^2\)。