高等数学 2.5 函数的微分

目录

• 一、微分的定义
• 二、微分的几何意义
• 三、微分运算
  • 1、函数和、差、积、商的微分法则
  • 2、复合函数的微分法则
• 四、微分在近似计算中的应用

一、微分的定义

定义 设函数 \(y = f(x)\) 在某区间内有定义，\(x_0\) 及 \(x_0 + \Delta x\) 在这区间内，如果函数的增量

\[\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \]

可表示为

\[\Delta y = A \Delta x + o(x) , \tag{1} \]

其中 \(A\) 是不依赖于 \(\Delta x\) 的常数，那么称函数 \(y = f(x)\) 在点 \(x_0\) 是可微的，而 \(A \Delta x\) 叫做函数 \(y = f(x)\) 在点 \(x_0\) 相应于自变量增量 \(\Delta x\) 的微分，记作 \(\mathrm{d}y\) ，即

\[\mathrm{d}y = A \Delta x \]

下面讨论函数可微的条件。设函数 \(y = f(x)\) 在点 \(x_0\) 可微，则按定义有 \((1)\) 式成立。\((1)\) 式两边除以 \(\Delta x\) ，得

\[\cfrac{\Delta y}{\Delta x} = A + \cfrac{o(x)}{\Delta x} \]

于是，当 \(\Delta x \to 0\) 时，由上式可得

\[A = \lim_{\Delta x \to 0} \cfrac{\Delta y}{\Delta x} = f'(x_0) \]

因此，如果函数 \(y = f(x)\) 在点 \(x_0\) 可微，那么 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 也一定可导（即 \(f'(x_0)\) 存在），且 \(A = f'(x_0)\) 。

反之，如果 \(y = f(x)\) 在点 \(x_0\) 可导，即

\[\lim_{\Delta x \to 0} \cfrac{\Delta y}{\Delta x} = f'(x_0) \]

存在，根据极限与无穷小的关系，上式可写成

\[\cfrac{\Delta y}{\Delta x} = f'(x_0) + \alpha \]

其中 \(\alpha \to 0\) （当 \(\Delta x \to 0\)）。由此又有

\[\Delta y = f'(x_0) \Delta x + \alpha \Delta x . \]

因 \(\alpha \Delta x = o(x)\) ，且 \(f'(x)\) 不依赖于 \(\Delta x\) ，故上式相当于 \((1)\) 式。所以 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 也是可微的。

由此可见，函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 可微的充分必要条件是函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 可导，且当 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 可微时，其微分一定是

\[\mathrm{d}y = f'(x) \Delta x . \tag{2} \]

当 \(f'(x) \neq 0\) 时，有

\[\lim_{\Delta x \to 0} \cfrac{\Delta y}{\mathrm{d}y} = \lim_{\Delta x \to 0} \cfrac{\Delta y}{f'(x_0) \Delta x} = \cfrac{1}{f'(x_0)} \lim_{\Delta x \to 0} \cfrac{\Delta y}{\Delta x} = 1 . \]

从而，当 \(\Delta \to 0\) 时，\(\Delta y\) 与 \(\mathrm{d}y\) 是等价无穷小，于是有

\[\Delta y = \mathrm{d}y + o(\mathrm{d}y) , \tag{3} \]

即 \(\mathrm{d}y\) 是 \(\Delta y\) 的主部。又由于 \(\mathrm{d}y = f'(x) \Delta x\) 是 \(\Delta x\) 的线性函数，所以在 \(f'(x_0) \neq 0\) 的条件下，我们说 \(\mathrm{d}y\) 是 \(\Delta y\) 的线性主部（当 \(\Delta x \to 0\)）.于是我们得到结论：在 \(f'(x_0) \neq 0\) 的条件下，以微分 \(\mathrm{d}y = f'(x_0) \Delta x\) 近似代替增量 \(\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)\) 时，其误差为 \(o(\mathrm{d}y)\) ，因此，在 \(| \Delta x |\) 很小时，有近似等式

\[\Delta y \approx \mathrm{d}y . \]

例1 求函数 \(y = x^2\) 在 \(x = 1\) 和 \(x = 3\) 处的微分。
解：函数 \(y = x^2\) 在 \(x = 1\) 处的微分为

\[\mathrm{d}y = \left . (x^2)' \right|_{x = 1} \Delta x = 2 \Delta x , \]

在 \(x = 3\) 处的微分为

\[\mathrm{d}y = \left . (x^2)' \right|_{x = 3} \Delta x = 6 \Delta x , \]

函数 \(y = f(x)\) 在任意点 \(x\) 的微分，称为函数的微分，记作 \(\mathrm{d}y\) 或 \(\mathrm{d} f(x)\) ，即

\[\mathrm{d}y = f'(x) \Delta x . \]

显然，函数的微分 \(\mathrm{d}y = f'(x) \Delta x\) 与 \(x\) 和 \(\Delta x\) 有关。

例2 求函数 \(y = x^3\) 当 \(x = 2\) ，\(\Delta x = 0.02\) 时的微分。
解：先求函数在任意点 \(x\) 的微分

\[\mathrm{d}y = (x^3)' \Delta x = 3x^2 \Delta x . \]

再求函数当 \(x = 2\) ，\(\Delta x = 0.02\) 时的微分

\[\left . \mathrm{d}y \right|_{x = 2 , \Delta x = 0.02} = \left . (3x^2) \Delta x \right|_{x = 2 , \Delta x = 0.02} = 3 \times 2^2 \times 0.02 = 0.24. \]

通常把自变量 \(x\) 的增量 \(\Delta x\) 称为自变量的微分，记作 \(\mathrm{d}x\) ，即 \(\mathrm{d}x = \Delta x\) 。于是函数 \(y = f(x)\) 的微分又可以记作

\[\mathrm{d}y = f'(x) \mathrm{d}x . \]

从而有

\[\cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = f'(x) . \]

这就是说，函数的微分 \(\mathrm{d}y\) 与自变量的微分 \(\mathrm{d}x\) 之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做“微商”。

二、微分的几何意义

三、微分运算

从函数的微分的表达式

\[\mathrm{d}y = f'(x) \mathrm{d}x \]

可以看出，要计算函数的微分，只需要计算函数的导数，再乘以自变量的微分。

1、函数和、差、积、商的微分法则

（1）\(\mathrm{d}(u \pm v) = \mathrm{d}u \pm \mathrm{d}v\) .
（2）\(\mathrm{d}(Cu) = C \mathrm{d}u\)
（3）\(\mathrm{d} (uv) = v \mathrm{d}u + u \mathrm{d}v\)
（4）\(\mathrm{d} \left( \cfrac{u}{v} \right) = \cfrac{v \mathrm{d}u - u \mathrm{d}v}{v^2} \quad (v \neq 0)\).

2、复合函数的微分法则

与复合函数的求导法则相应地复合函数的微分法则可推导如下：
设 \(y = f(u)\) 及 \(u = \mathrm{g}(x)\) 都可导，则复合函数 \(y = f[\mathrm{g}(x)]\) 的微分为

\[\mathrm{d}y = y'_x \mathrm{d}x = f'(u) \mathrm{g}'(x)\mathrm{d}x . \]

由于 \(\mathrm{g}'(x) \mathrm{d}x = \mathrm{d}u\) ，所以，复合函数 \(y = f[\mathrm{g}(x)]\) 的微分公式也可以写成

\[$y = f[\mathrm{g}(x)]$y = f'(u)\mathrm{d}u \quad 或 \quad \mathrm{d}y = y'_x \mathrm{d}u . \]

由此可见，无论 \(u\) 是自变量还是中间变量，微分形式 \(\mathrm{d}y = f'(u) \mathrm{d}u\) 保持不变。这一性质称为微分形式不变性。这性质表示，当变换自变量时，微分形式 \(\mathrm{d}y = f'(u) \mathrm{d}u\) 并不改变。

例3 设 \(y = \sin{(2x + 1)}\) ，求 \(\mathrm{d}y\) .
解：把 \(2x + 1\) 看成中间变量 \(u\) ,则

\[\mathrm{d}y = \mathrm{d}(\sin u) = \cos u \mathrm{d}u = \cos{(2x + 1)} \mathrm{d}(2x + 1) = 2 \cos{(2x + 1)}\mathrm{d}x \]

例4 设 \(y = \ln{(1 + \mathrm{e}^{x^2})}\) ，求 \(\mathrm{d}y\)
解：

\[\begin{align*} \mathrm{d}y &= \mathrm{d}(\ln{(1 + \mathrm{e}^{x^2})}) \\ &= \cfrac{1}{1 + \mathrm{e}^{x^2}} \mathrm{d}(1 + \mathrm{e}^{x^2}) \\&= \cfrac{1}{1 + \mathrm{e}^{x^2}} \cdot \mathrm{e}^{x^2} \mathrm{d}(x^2) \\ &= \cfrac{\mathrm{e}^{x^2}}{1 + \mathrm{e}^{x^2}} \cdot 2x \mathrm{d}x \\ &= \cfrac{2x \mathrm{e}^{x^2}}{1 + \mathrm{e}^{x^2}} \mathrm{d}x . \end{align*} \]

例5 设 \(y = \mathrm{e}^{1 - 3x} \cos x\) ，求 \(\mathrm{d}y\) 。
解：应用积的微分法则，得

\[\begin{align*} \mathrm{d}y &= \mathrm{d}(\mathrm{e}^{1 - 3x} \cos x) \\ &= \cos x \mathrm{d}(\mathrm{e}^{1 - 3x}) + \mathrm{e}^{1 - 3x} \mathrm{d}(\cos x) \\ &= (\cos x) \mathrm{e}^{1 - 3x} (-3 \mathrm{d}x) + \mathrm{e}^{1 - 3x} (- \sin x \mathrm{d}x) \\ &= - \mathrm{e}^{1 - 3x} (3 \cos x + \sin x) \mathrm{d}x . \end{align*} \]

四、微分在近似计算中的应用

在工程问题中，经常会遇到一些复杂的计算公式。如果直接用这些公式进行计算，那是很费力的。利用微分往往可以把一些复杂的计算公式用简单的近似公式来代替。

前面说过，如果 \(y = f(x)\) 在点 \(x_0\) 处的导数 \(f'(x_0) \neq 0\) ，且 \(| \Delta x |\) 很小时，我们有

\[\Delta y \approx \mathrm{d}y = f'(x_0) \Delta x . \]

这个式子也可以写为

\[\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \approx f'(x_0) \Delta x , \tag{4} \]

或

\[f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \Delta x . \tag{5} \]

在 \((5)\) 式中令 \(x = x_0 + \Delta x\) ，即 \(\Delta x = x - x_0\) ，那么 \((5)\) 式可以写为

\[f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0) (x - x_0) . \tag{6} \]

如果 \(f(x_0)\) 与 \(f'(x_0)\) 都容易计算，那么可以利用 \((4)\) 式来近似计算 \(\Delta y\) ，利用 \((5)\) 式来近似计算 \(f(x_0 + \Delta x)\) ，或利用 \((6)\) 式来近似计算 \(f(x)\) 。这种近似计算的实质就是用 \(x\) 的线性函数 \(f(x_0) + f'(x_0) (x - x_0)\) 来近似表达函数 \(f(x)\) 。从导数的几何意义可知，这也就是用曲线 \(y = f(x)\) 在点 \((x_0, f(x_0))\) 处的切线来近似代替该曲线（就切点邻近部分来说）。

例7 有一批半径为 \(1 \mathrm{cm}\) 的球，为了提高球面的光洁度，要镀上一层铜，厚度定为 \(0.01 \mathrm{cm}\) 。估计一下镀每只球需用多少克铜（铜的密度是 \(8.9 \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3\)）。
解：先求出镀层的体积，再乘密度就可得到镀每只球需用的铜的质量。
因为镀层的体积等于镀铜前、后两个球体体积之差，所以它就是球体体积 \(V = \cfrac{4}{3} \pi R^3\) 当 \(R\) 自 \(R_0\) 取得增量 \(\Delta R\) 时的增量 \(\Delta V\) 。我们求 \(V\) 对 \(R\) 的导数。

\[\left . V' \right|_{R = R_0} = \left . \left( \cfrac{4}{3} \pi R^3 \right)' \right|_{R = R_0} = 4 \pi R_0^2 , \]

可得

\[\Delta V \approx 4 \pi R_0^2 \Delta R . \]

将 \(R_0 = 1\) ， \(\Delta R = 0.01\) 代入上式，得

\[\Delta V \approx 4 \times 3.14 \times 1^2 \times 0.01 \approx 0.13 (\mathrm{cm}^3) , \]

于是镀每只球需用的铜约为

\[0.13 \times 8.9 = 1.16 (\mathrm{g}) \]

例8 利用微分计算 \(\sin{30^{\circ} 30 ^\prime}\) 的近似值。
解：把 \(\sin{30^{\circ} 30^\prime}\) 化为弧度，得

\[30^{\circ} 30^\prime = \cfrac{\pi}{6} + \cfrac{\pi}{360} . \]

由于所求的是正弦函数的值，故设 \(f(x) = \sin x\) 。此时 \(f^{'} = \cos x\) 。如果取 \(x_0 = \cfrac{\pi}{6}\) ，那么 \(f \left( \cfrac{\pi}{6} \right) = \sin{\cfrac{\pi}{6}} = \cfrac{1}{2}\) 与 \(f^{'} \left( \cfrac{\pi}{6} \right) = \cos{\cfrac{\pi}{6}} = \cfrac{\sqrt 3}{2}\) 都容易计算，并且 \(\Delta x = \cfrac{\pi}{360}\) 比较小，可得

\[\begin{align*} \sin{30^{\circ} 30 ^\prime} &= \sin{\left( \cfrac{\pi}{6} + \cfrac{\pi}{360} \right)} \approx \sin{\cfrac{\pi}{6}} + \cos{\cfrac{\pi}{6}} \times \cfrac{\pi}{360} \\ &= \cfrac{1}{2} + \cfrac{\sqrt 3}{2} \times \cfrac{\pi}{360} \\ & \approx 0.5000 + 0.0076 = 0.5076 \end{align*} \]

在 \((6)\) 式中取 \(x_0 = 0\) ，于是得

\[f(x) \approx f(0) + f^{'} (0) x . \tag{7} \]

应用 \((7)\) 式可以推得以下几个在工程上常用的近似公式（下面都假定 \(|x|\) 是比较小的数值）：
（1）\((1 + x)^{\alpha} \approx 1 + \alpha x \quad (\alpha \in \mathbb{R})\)
（2）\(\sin x \approx x (x以弧度为单位)\)
（3）\(\tan x \approx x (x以弧度为单位)\)
（4）\(\mathrm{e}^x \approx 1 + x\)
（5）\(\ln{(1 + x)} \approx x .\)

例9 计算 \(\sqrt{1.05}\) 的近似值。
解：

\[\sqrt{1.05} = \sqrt{1 + 0.05} \]

这里 \(x = 0.05\) ，其值较小，利用近似公式（1）可得

\[\sqrt{1.05} \approx 1 + \cfrac{1}{2} \times 0.05 = 1.025 . \]