高等数学 1.6 极限存在准则 两个重要极限

目录

• 第一个准则
• 第一个重要极限
• 第二个准则
• 第二个重要极限
• 柯西（Cauchy）极限存在准则

第一个准则

准则Ⅰ：如果数列 \(\{ x_n \}\) ，\(\{ y_n \}\) 及 \(\{ z_n \}\) 满足下列条件：
（1）从某项起，即 \(\exists n_0 \in \mathbb{N}_+\) ，当 \(n > n_0\) 时，有

\[y_n \leqslant x_n \leqslant z_n \]

（2）\(\lim \limits_{n \to \infty} y_n = a\) ，\(\lim \limits_{n \to \infty} z_n = a\) ，
那么数列 \(\{ x_n \}\) 的极限存在，且 \(\lim \limits_{n \to \infty} x_n = a\) .

准则Ⅰ'：如果
（1）当 \(x \in \mathring{U}(x_0, r)\) （或 \(| x | > M\)）时，

\[\mathrm{g}(x) \leqslant f(x) \leqslant h(x) ; \]

（2）\(\lim \limits_{x \to 0(x \to \infty)} \mathrm{g}(x) = A\) ，\(\lim \limits_{x \to 0(x \to \infty)} h(x) = A\) ，
那么 \(\lim \limits_{x \to 0(x \to \infty)} f(x)\) 存在，且等于 \(A\) 。

准则Ⅰ及准则Ⅰ'称为夹逼准则 。

第一个重要极限

\[\lim_{x \to 0} \cfrac{\sin x}{x} = 1 \]

例1 求 \(\lim \limits_{x \to 0} \cfrac{\tan x}{x}\)
解：\(\lim \limits_{x \to 0} \cfrac{\tan x}{x} = \lim \limits_{x \to 0} \left( \cfrac{\sin x}{x} \cdot \cfrac{1}{\cos x} \right) = \lim \limits_{x \to 0} \cfrac{\sin x}{x} \cdot \lim \limits_{x \to 0} \cfrac{1}{\cos x} = 1\).

例2 求 \(\lim \limits_{x \to 0} \cfrac{1 - \cos x}{x^2}\) .
解：

\[\lim_{x \to 0} \cfrac{1 - \cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \left( \cfrac{\sin^2 x}{x^2} \cdot \cfrac{1}{1 + \cos x} \right) = \lim_{x \to 0} \left( \cfrac{\sin x}{x} \right)^2 \cdot \lim_{x \to 0} \cfrac{1}{1 + \cos x} = \cfrac{1}{2} \]

例3 求 \(\lim \limits_{x \to 0} \cfrac{\arcsin x}{x}\).
解：令 \(t = \arcsin x\) ，则 \(x = \sin t\) ，当 \(x \to 0\) 时，有 \(t \to 0\) .于是由复合函数的极限运算法则得

\[\lim_{x \to 0} \cfrac{\arcsin x}{x} = \lim_{t \to 0} \cfrac{t}{\sin t} = 1 \]

第二个准则

准则Ⅱ：单调有界数列必有极限。

相应于单调有界数列必有极限的准则Ⅱ，函数极限也有类似的准则。对于自变量的不同变化过程 \((x \to x_0^-, x \to x_0^+, x \to - \infty, x_0 \to \infty)\) ，准则的形式有所不同。以 \(x \to x_0^-\) 为例，相应的准则叙述如下：
准则Ⅱ'：设函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 的某个左邻域内单调并且有界，则 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 的左极限 \(f(x_0^-)\) 必定存在。

第二个重要极限

\[\lim_{x \to \infty} \left( 1 + \cfrac{1}{x} \right)^x = \mathrm{e} \quad 或者 \quad \lim_{x \to 0} \left( 1 + x \right)^{\cfrac{1}{x}} = \mathrm{e} \]

例4 求 \(\lim \limits_{x \to \infty} \left( 1 - \cfrac{1}{x} \right)^x\) .
解：令 \(t = -x\) ，则当 \(x \to \infty\) 时，\(t \to \infty\) .于是

\[\lim_{x \to \infty} \left( 1 - \cfrac{1}{x} \right)^x = \lim_{t \to \infty} \left( 1 + \cfrac{1}{t} \right)^{-t} = \lim_{t \to \infty} \cfrac{1}{\left( 1 + \cfrac{1}{t} \right)^t} = \cfrac{1}{\mathrm{e}} . \]

柯西（Cauchy）极限存在准则

柯西极限存在准则：数列 \(\{ x_n \}\) 收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数 \(\varepsilon\) ，存在正整数 \(N\) ，使得当 \(m > N, n > N\) 时，有

\[\left| x_n - x_m \right| \leqslant \varepsilon . \]

柯西极限存在准则有时也叫做柯西审敛原理。