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数据结构学习笔记(8) 启发式合并

启发式合并是用来解决子树中的统计问题。

在codeforces上叫做dsu on tree(树上启发式合并)。这里我们主要是来讲在树上进行启发式合并。

实际上之前我有讲过启发式合并严格鸽：启发式合并看似暴力实则很快的算法

还有利用启发式合并的并查集严格鸽：ACM——可撤销并查集教程

但是没有讲过树上启发式合并。

我们一般需要维护一个 $s u b [u]$ sub[u] ，表示以 $u$ u 为根的子树中的点。

下图中 $s u b [3] = [3, 6, 7, 8, 9]$ sub[3] = [3,6,7,8,9]

但是如果暴力维护每个 $s u b [u]$ sub[u] 肯定是会爆炸的。

但是

严格鸽：启发式合并看似暴力实则很快的算法

启发式合并就是在合并的时候将size小的那个集合合并到size大的那个集合里面。

比如[1,2,3] 和 [3,5,6,7] 合并，选择遍历前者来把元素放入后者。

void merge(vector<int>& a, vector<int>& b) {if (a.size() > b.size()) {for (int x : b)a.push_back(x);}else {for (int x : a)b.push_back(x);}
}

初看上可能感觉这就是个暴力。但是我们分析一下每个元素被push_back()了多少次。

一个集合中的元素被放入另一个集合中会被push_back()一次。但是这个元素所在的集合的大小至少扩大了一倍。所以一个元素最多被push_back()了 $O (l o g (N))$ O(log(N)) 次。

也就是用启发式合并，总的时间复杂度为 $O (n l o g n)$ \rm O(nlogn) 。

对于 $s u b [u]$ \rm sub[u] ，可以从其子节点 $v$ \rm v ，利用启发式合并进行转移。

这里考虑下实现，一般的做法是，我们开一个

vector<int>sub[N]

$m x_{s o n}$ \rm mx_{son} 表示子树最大的子节点。

然后我们把其它的子节点中的 $s u b$ sub 都放到这个 $m x_{s o n}$ mx_{son} 中。

然后把这个 $m x_{s o n}$ mx_{son} 复制给 $u$ u ，但是因为有个复制操作，所以需要。

$i d [u]$ id[u] 表示 $u$ u 被映射到了哪个位置。

这样有以下代码

vector<int>sub[N];
void dfs(int u, int fa) {id[u] = ++tot;int mx_son = -1, mx_sz = 0;for (int v : g[u]) {if (v == fa)continue;dfs(v, u);if (sub[id[v]].size() > mx_sz) {mx_sz = sub[id[v]].size();mx_son = v;}}if (mx_son != -1)id[u] = id[mx_son];//复制操作
    for (int v : g[u]) {if (v == fa)continue;if (v == mx_son)continue;for (int son : sub[id[v]])sub[id[u]].push_back(son);}sub[id[u]].push_back(u);
}

当然优化复制操作可以用c++11的move。

其实这样就可以直接做题了

题目链接：

Problem - E - Codeforces

题意：

做法：

我们在记录子树出现了哪些节点之外，还需要记录每种颜色出现的次数。

所以我们直接套一个结构体

struct node {int mx_cnt = 0;//最多的出现次数
    ll mx_sum = 0;//出现次数最多的颜色的编号和
    map<int, int>cnt;vector<int>list;void add(int u) {cnt[c[u]]++;if (cnt[c[u]] > mx_cnt)mx_cnt = cnt[c[u]], mx_sum = c[u];else if (cnt[c[u]] == mx_cnt)mx_sum += c[u];list.push_back(u);}int size() { return list.size(); }
}sub[N];

这里我们选择直接套一个map，复杂度为 $O (n l o g^{2} n)$ \rm O(nlog^2n) , $10^{5}$ 10^5 的数据完全够用。

这样我们套一下上面的代码，就可以愉快的做出本题了。

code

const int N = 1e5 + 5;
int n, c[N], id[N], tot = 0;
struct node {int mx_cnt = 0;//最多的出现次数
    ll mx_sum = 0;//出现次数最多的颜色的编号和
    map<int, int>cnt;vector<int>list;void add(int u) {cnt[c[u]]++;if (cnt[c[u]] > mx_cnt)mx_cnt = cnt[c[u]], mx_sum = c[u];else if (cnt[c[u]] == mx_cnt)mx_sum += c[u];list.push_back(u);}int size() { return list.size(); }
}sub[N];
ll ans[N];
vector<int>g[N];
void dfs(int u, int fa) {id[u] = ++tot;int mx_son = -1, mx_sz = 0;for (int v : g[u]) {if (v == fa)continue;dfs(v, u);if (sub[id[v]].size() > mx_sz) {mx_sz = sub[id[v]].size();mx_son = v;}}if(mx_son!=-1)id[u] = id[mx_son];for (int v : g[u]) {if (v == fa)continue;if (v == mx_son)continue;for (int son : sub[id[v]].list)sub[id[u]].add(son);}sub[id[u]].add(u);ans[u] = sub[id[u]].mx_sum;
}
void slove() {cin >> n;for (int i = 1; i <= n; i++)cin >> c[i];for (int i = 1; i <= n - 1; i++) {int u, v; cin >> u >> v;g[u].push_back(v);g[v].push_back(u);}dfs(1, 0);for (int i = 1; i <= n; i++)cout << ans[i] << " ";cout << endl;
}