2024数学高考压轴题
题面
懒得打,直接放。
解
- (1)
\((1,2),(5,6),(1,6)\)。
- (2)
考虑,\(a_1,a_3,a_4,\dots,a_12,a_14\),可以通过这样的方式分成 \(3\) 个等差数列:
使得每一个序列都为等差序列,然后 \(a_{14}\) 后面的数可以相邻 \(4\) 个为一个等差数列。
综上,\(\forall m\ge 3\) 时,原序列为可分序列。
- (3)
设 \(f(m)\) 为长度为 \(4m+2\) 的等差序列可以使得剩下的序列为一一可分序列的数对个数,简称合法数对个数。
显然对于 \(\forall i=4t+1,(t=0,1,2,\dots,m)\),\((i,i+1)\) 都是合法数对,这样的数对个数为 \(m+1\)。
考虑一个长度为 \(4t+2,(t=1,1,2,\dots,m)\) 的序列:
- 当 \(t\ge 2\) 时,我们先把序列如下叙述方式分割:
易得每一个序列都为等差序列。
又 $\because $ 除第一、二个序列长度为 \(5\) 外,其他长度序列均为 \(4\)。
\(\therefore\) 将第一个序列的开头、第二个序列的结尾删除,或将第一个序列的结尾、第二个序列的开头删除,可以使合法数对个数增加 \(2\)。
- 当 \(t=1\) 时,由 \((1)\) 得,合法且数对内数字不相邻数对的个数为 \(1\)。
对于一个长度为 \(4m+2\) 得序列,我们可以删除开头和结尾长度为 \(4\) 的倍数的序列,使得剩下的序列长度为 \(4t+2\),然后形如于上文方式选择即可。
综上
则
由 \(m\ge 1\) 易得 \(8m^2+8m+1>0\),
故 $P_m\ge \frac{1}{8} $。