总体估计中的相关公式 | 高一使用

前言

相关公式

【人教 2019 A 版 \(P_{215}\) 练习 2】 数据 \(x_1\)，\(x_2\)， \(\cdots\)， \(x_n\) 的方差为 \(s_x^2\)， 数据 \(y_1\)， \(y_2\)， \(\cdots\)， \(y_n\) 的方差为 \(s_y^2\)， \(a\)、 \(b\) 为常数. 证明:

(1) . 如果 \(y_1=x_1+b\)， \(y_2=x_2+b\)， \(\cdots\)， \(y_n=x_n+b\)， 那么 \(s_y^2\)\(=\)\(s_x^2\);

证明：由于 \(s_x^2=\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i}^{n}(x_i-\bar{x})^2\)， 且 \(\bar{y}=\bar{x}+b\)

\(s_y^2=\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}(y_i-\bar{y})^2=\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}[(x_i+b)-(\bar{x}+b)]^2=\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i}^{n}(x_i-\bar{x})^2=s_x^2\)

故有 \(s_y^2\)\(=\)\(s_x^2\);

(2) . 如果 \(y_1=ax_1\)， \(y_2=ax_2\)， \(\cdots\)， \(y_n=a x_n\)， 那么 \(s_y^2\)\(=\)\(a^2\)\(\cdot s_x^2\).

证明：由于 \(s_x^2=\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i}^{n}(x_i-\bar{x})^2\)， 且 \(\bar{y}=a\cdot\bar{x}\)

\(s_y^2=\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}(y_i-\bar{y})^2\)\(=\)\(\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}(a\cdot x_i-a\cdot\bar{x})^2\)

\(=\)\(\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}a^2(x_i-\bar{x})^2\)\(=\)\(a^2\cdot\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2\)\(=\)\(a^2\cdot s_x^2\)

【人教 2019 A 版 \(P_{216}\) 习题9.2的第 4 题】数据 \(x_1\)， \(x_2\)， \(\cdots\)， \(x_n\) 的方差和标准差分别为 \(s_x^2\)， \(s_x\)， 数据 \(y_1\)， \(y_2\)， \(\cdots\)， \(y_n\) 的方差和标准差分别为 \(s_y^2\)， \(s_y\). 若 \(y_1=a x_1+b\)， \(y_2=a x_2+b\)， \(\cdots\)， \(y_n=a x_n+b\) 成立， \(a\)， \(b\) 为常数， 证明: \(s_y^2=\)\(a^2\cdot\)\(s_x^2\)，\(s_y\)\(=\)\(|a|\)\(s_x\).

仿上题证明；

【人教 2019 A 版 \(P_{216}\) 习题9.2的第 5 题】 数据 \(x_1\)， \(x_2\)， \(\cdots\)， \(x_n\) 的方差 \(s^2=0\)， 证明: 所有的 \(x_i\)(\(i\)\(=\)\(1\)，\(2\)，\(\cdots\)，\(n\)) 都相同.

证明：由于 \(s_x^2=\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i}^{n}(x_i-\bar{x})^2=0\)，故 \(x_-\bar{x}=0\)，即 \(x_i=\bar{x}\)， \(x_i\)(\(i\)\(=\)\(1\)，\(2\)，\(\cdots\)，\(n\)) ，得证 .

【人教 2019 A 版 \(P_{218}\) 习题9.2的第 11 题】已知总体划分为 \(3\) 层，通过分层随机抽样， 各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为: \(l\)， \(\bar{x}\)， \(s_1^2\) ； \(m\)， \(\bar{y}\)， \(s_2^2\)； \(n\)，\(\bar{z}\)， \(s_3^2\) . 记总的样本平均数为 \(\bar{w}\)， 样本方差为 \(s^2\)， 证明:

(1). \(\bar{w}\)\(=\)\(\cfrac{l}{l+m+n}\cdot\bar{x}\)\(+\)\(\cfrac{m}{l+m+n}\cdot\bar{y}\)\(+\)\(\cfrac{n}{l+m+n}\cdot\bar{z}\);

(2). \(s^2\)\(=\)\(\cfrac{1}{l+m+n}\)\(\bigg\{l\cdot\left[s_1^2+(\bar{x}-\bar{w})^2\right]\)\(+\)\(m\cdot\left[s_2^2+(\bar{y}-\bar{w})^2\right]\)\(+\)\(n\cdot\left[s_3^2+(\bar{z}-\bar{w})^2\right]\bigg\}\).