01背包问题

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。

第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤1000

0<vi,wi≤1000

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例：

8

题解:

每个物品都有两种情况, 选或者不选, 所以要从 2^n 中方案中找到最大值

f[i][j] 表示的是 只考虑前i个商品中, 体积不超过j的 最大价值
状态表示: 只考虑前i个商品中, 体积不超过j的价值
属性是: 最大值

---

状态计算:
对于每个f[i][j]都包含两个状态

1. 不选第 i 个商品的最大价值 ---> f[i - 1][j]
2. 选第 i 个商品的最大价值 ---> f[i - 1][j - v[i]] + w[i]

对这两个表达式 求一个max就是f[i][j], f[n][m]就是答案

---

ac代码 + 样例图解模拟 (横着的是 j, 竖着的是 i)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e3 + 10;
int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N][N];int main()
{cin >> n >> m;for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> v[i] >> w[i];for (int i = 1; i <= n; i ++)for (int j = 0; j <= m; j ++){f[i][j] = f[i - 1][j];if (j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);} // 为什么当j>=v[i]的时候就可以装第i个物品了呢，j的意思是总体积不超过j，如果只是总体积大于v[i],但是背包剩余的体积小于v[i],肯定装不下v[i]啊
// 可能有同学有上面的疑惑, 这里解释一下, f[i][j]的状态计算的第二个 "选第 i 个商品的最大价值", 是只考虑存在 第 i 个商品, i前面的商品是否存在不考虑
// 比如下图紫色字体的位置。 如果 这里的判断条件是 背包剩余的体积不小于v[i], 那么 图中紫色数字应该是2, 因为 v[1] = 1, v[2] = 2, j = 2, 前两个商品的体积加起来大于j(2)。 
// 但如果判断条件是(j >= v[i]) 紫色数字就是4, 因为第二个商品的价值是4, 显然, f[2][2] = 4才是对的cout << f[n][m] << endl;return 0;
}

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