概率论
在 OI 中，认为概率是事件的固有属性。
将事件的集合称为概率空间。
用 \(\omega\) 表示事件。
认为随机变量 \(X,Y\) 独立，当且仅当 \(P(X=x\text{ 且 }Y=y)=P(X=x)\times P(Y=y)\) 恒成立。
两者互为充要。
令 \(P(A|B)\) 代表在 \(B\) 发生的条件下 \(A\) 发生的概率。
得到 \(P(AB)=P(A|B)\times P(B)\)。
若 \(A\) 和 \(B\) 独立，\(P(A|B)=P(A)\)。
贝叶斯公式
\(P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}\)。
可以理性地从 \(P(AB)=P(A|B)\times P(B)=P(B|A)\times P(A)\) 来证明。
我们并不能通过 \(P(\text{摸到白盒子})\times P(\text{摸到红球})\) 得到答案，因为摸出红球是先决条件。
令 \(A\) 代表”来自白盒子“，\(B\) 代表”摸到红球“。
咕。（贝叶斯公式）
期望
\(E(x)\sum\limits_{\omega}X(\omega)P(\omega)\)
这是线性函数。
若 \(X\) 与 \(Y\) 独立，则 \(E(XY)=(EX)(EY)\)。
方差
\(V(X)=E((X-E(X))^2)\)
等价于 \(E(X^2)-(EX^2)\)。
P9963 THUPC2024 T2
对于一枚硬币，第一次抛到正面时恰好抛了 \(t\) 次的概率是 \(p(1-p)^{t-1}\)，代表前 \(t-1\) 次为背面，第 \(t\) 次为正面。
发现题目的式子一样。
为什么不是 \(2^n\)？不知道。
\(P(z|q_{n-1})=P(z)P(q_{n-1}=P(z)P(z-1)P(\)
期望 dp。\(f(x)=\frac{f(x+1)+f(0)}{2}\)，\(f(x)\) 代表已经连续抛出了 \(x\) 个 \(1\)，还需要期望抛几次能满足要求。
发现 \(f(0)\) 未知，将其视作一个未知数代入，边界 \(f(n)=0\)，解方程即可。
对于概率 dp 和期望 dp 转移关系成环的情况，经常选择暴力高斯消元。上面是主元法。
令 \(f(x)\) 代表掷出 \(x\) 种点数所需的期望步数，\(f(x)=f(x-1)+\frac{n}{n-x}\)。
假设抛出某面的概率是 \(\frac{p}{q}\)，则抛出该面的期望步数是 \(\frac{q}{p}\)。
P3802
期望具有线性性。
前七个元素互不相同的概率是 \(\frac{7!\prod a_i}{n^{7*}}\)。
有 \(n\) 张彩票，\(f_x\) 张不会中奖，\(1\) 张会中奖，其余再来一次，问中奖概率是多少。
首先可以忽略”再来一次".多想想就明白了。
所以概率为 \(\frac{1}{f_x}\)。
